Fabio scrive: Esercizio disequazione

Oggetto: disequazione

Corpo del messaggio:

$\frac {x}{x^2+4+2x}-\frac {4x^2}{x^3-8}+\frac {3x+<wbr />1}{x^2-4}<0$

Per risolvere questa disequazione bisognerà prima trovare il minimo comune multiplo tra i denominatori, scomponendo ove possibile:

$\frac {x}{x^2+4+2x}-\frac {4x^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}+\frac {3x+<wbr />1}{(x-2)(x+2)}<0$

$\frac {x(x^2-4)-4x^2(x+2)+(3x+1)(x^2+2x+4)}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}<0$

$\frac {x^3-4x-4x^3-8x^2+3x^3+6x^2+12x+x^2+2x+4}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}<0$

$\frac {-x^2+10x+4}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}<0$

$\frac {x^2-10x-4}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}>0$

Analizziamo i singoli fattori:

$x_{\frac 12}=\frac {10 \pm \sqrt {100+16}}{2}=\frac {10 \pm \sqrt {116}}{2}=\frac {10 \pm 2\sqrt {29}}{2}=5\pm \sqrt {29}$

Andando a vedere la tabella delle disequazioni, possiamo dire che questa disequazione è verificata per:

$x< 5- \sqrt {29} \, \, \quad \lor \quad \, \, x > 5 +\sqrt {29}$

x>-2

x>2

Questa sarà verificata per ogni x perchè il $\Delta=4-16$ risulta essere negativo.

Analizzando il grafico otteniamo il risultato della disequazione iniziale:

$x<-2 \quad \lor \quad 5-\sqrt{29}

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