Erica scrive: Esercizio integrale con radice

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Oggetto: soluzione di un esercizio

Corpo del messaggio:
ciao mi potresti risolvere genttilente questo integrale : radice di 1+x^2 e anche l’integrle dx fratto la radice di 1 +x^2  grazie ciaooo

 

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx

Risolviamolo per parti:

f(x)=\sqrt {1+x^2} \qquad \qquad f'(x)=\frac {x}{\sqrt{1+x^2}}

g'(x)=1 \qquad \qquad g(x)=x

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=x\sqrt {1+x^2}- \int \frac {x^2}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx=

x\sqrt {1+x^2}- \int \frac {1+x^2}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx=

x\sqrt {1+x^2}- \int \sqrt{1+x^2}} \, \, dx + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx.

Analizzando quindi avremo che:

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=x\sqrt {1+x^2}- \int \sqrt{1+x^2}} \, \, dx + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx,

e quindi:

2\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=x\sqrt {1+x^2} + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=\frac 12(x\sqrt {1+x^2} + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx).

Risolviamo ora il secondo integrale che in pratica risolve anche la seconda questione:

\int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx.

Poniamo, usando le funzioni iperboliche:

x=senh (y)

dx=cosh(y) \, \,dy.

Sapendo che cosh^2y-senh^2y=1, avremo:

\int \frac {1}{cosh \, y} cosh \, y \,\, dy=\int dy=y+c=arcsenh(x)+c.

Questo risolve la seconda domanda, mentre il primo integrale sarà quindi:

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=\frac 12(x\sqrt {1+x^2} + arcsenh(x))+c.

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