Leandro scrive: Equazioni irrazionali e con moduli

Oggetto: Equazioni irrazionali e con moduli

Corpo del messaggio:
Per l’esercizio n. 1 allegato chiedo che venga svolto con le condizioni di esistenza e non con la verifica delle soluzioni.

Distinti saluti

$\sqrt[6]{3(1-x)}-\sqrt[3]{3x-1}=0$

Essendoci una radice di indice pari, svolgeremo il sistema, imponendo come condizione la positività del radicando stesso:

$\begin{cases} \sqrt[6]{3(1-x)}=\sqrt[3]{3x-1} \\ 3(1-x) \geq 0\end{cases}$

$\begin{cases} 3(1-x)=(3x-1)^2 \\ x \leq 1\end{cases}$

$\begin{cases} 3-3x=9x^2-6x+1 \\ x \leq 1\end{cases}$

$\begin{cases} 9x^2-3x-2=0 \\ x \leq 1\end{cases}$

$\begin{cases} x_{\frac 12}=\frac {3 \pm \sqrt {9+72}}{18} \\ x \leq 1\end{cases}$

$\begin{cases} x_{\frac 12}=\frac {3 \pm \sqrt {81}}{18} \\ x \leq 1\end{cases}$

$\begin{cases} x_{\frac 12}=\frac {3 \pm 9}{18} \\ x \leq 1\end{cases}$

$\begin{cases} x_1=-\frac 13 \quad x_2=\frac 23 \\ x \leq 1\end{cases}.$

La prima soluzione è ovviamente da scartare in quanto, essendo la radice di indice dispari portatrice del segno (ovvero radice di segno positivo rimane positiva, e radice di segno negativo, rimane negativa, dobbiamo imporre come condizione iniziale che, essendoci una differenza, anche il radicando della radice cubica sia positivo. Avremo così:

$\begin{cases} x_1=-\frac 13 \quad x_2=\frac 23 \\ x \leq 1 \\ x geq 13\end{cases}$

che darà come soluzione solo $x=\frac 23$ .

$\left| 1+2x - \left |x+2 \right| \right| =x-1$

Distinguiamo subito due sistemi:

$\begin{cases} x \geq -2 \\ \left| 1+2x - x-2 \right| =x-1 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < -2 \\ \left| 1+2x +x+2 \right| =x-1 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq -2 \\ \left| x-1 \right| =x-1 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < -2 \\ \left| 3x +3 \right| =x-1 \end{cases}$

Dai due sistemi si potrebbe intuire subito la soluzione, ma svolgiamo prima i calcoli, notando che dovremmo avere due sistemi per ogni sistema creato:

primo sistema:

$\begin{cases} x \geq -2 \\ x \geq 1 \\ x-1 =x-1 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x \geq -2 \\ x < 1 \\1-x =x-1 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 1 \\ 0x =0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -2 \leq x < 1 \\x =1 \end{cases}$

Il primo sistema quindi ammetterà come soluzione $x \geq 1$ , mentre il secondo sarà impossibile.

secondo sistema:

$\begin{cases} x < -2 \\ x \geq -1 \\ 3x +3 =x-1 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < -2 \\ x < -1 \\ -3x -3 =x-1 \end{cases}$

Si vede subito che il primo sistema è impossibile; analizziamo solo il secondo:

$\begin{cases} x < -2 \\ -4x =2 \end{cases}$

$\begin{cases} x < -2 \\ x =-\frac 12 \end{cases}$

quindi è impossibile anche il secondo.

L’equazione iniziale sarà quindi verificata per ogni $x \geq 1$ .

$\sqrt {\left|2x-6\right|}=\left|x\right| -x$

Notiamo subito che, in questo caso, studiare la positività del radicando, è superfluo, essendo un modulo sempre positivo per definizione, e che il secondo termine sarà anch’esso sempre positivo, in quanto il minimo valore che potrà assumere, qualore l’incognita fosse positiva sarà 0.

Quindi avremo semplicemente che:

$\begin{cases} x \geq 0 \\ 2x-6 =0\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ 6-2x=4x^2\end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x =3\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ 4x^2+2x-6=0\end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x =3\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ 2x^2+x-3=0\end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x =3\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ x_{\frac 12}=\frac {-1 \pm \sqrt {1+24}}{4}\end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x =3\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ x_{\frac 12}=\frac {-1 \pm \sqrt {25}}{4}\end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x =3\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ x_{\frac 12}=\frac {-1 \pm 5}{4}\end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x =3\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ x_1=-\frac 32 \quad x_2=1\end{cases}$

Il primo sistema sarà verificato per $x=3$ , mentre il secondo sarà verificato solo per $x=-\frac 32$ .

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