Leandro scrive: Esercizio equazioni irrazionali

Pubblicato il 26 Novembre 2013 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Equazioni irrazionali

Corpo del messaggio:

$\sqrt {5+x}= \frac {\sqrt {5+x}}{5-x}$

$\sqrt {5+x} - \frac {\sqrt {5+x}}{5-x}=0$

$\sqrt {5+x} \left(1- \frac {1}{5-x}\right)=0$

$\sqrt {5+x} \left( \frac {5-x-1}{5-x}\right)=0$

Quindi avremo due possibilità per la legge di annullamento del prodotto:

$5+x=0 \rightarrow x=-5$
$4-x=0 \rightarrow x=4$

Sono ambedue accettabili perchè le condizioni di esistenza impongono che $x \geq -5$ .

$\sqrt[3] {6x+ \sqrt{3+x}}=2$

Elevando tutto al cubo otteniamo:

$6x+\sqrt{3+x}=8$

$\sqrt{3+x}=8-6x$

Eleviamo tutto al quadrato, con la condizione di esistenza che $x\ geq -3$ , ottenendo:

$3+x=64-96x+36x^2$

$36x^2-97x+61=0$

Senza fare grossi calcoli ci accorgiamo che:

$36x^2-36x-61x+61=0$

$36x(x-1)-61(x-1)=0$

$(x-1)(36x-61)=0$

Quindi avremo due possibilità per la legge di annullamento del prodotto:

$x-1=0 \rightarrow x=1$
$36x-61=0 \rightarrow x= \frac {61}{36}$

La prima è accettabile, la seconda no… Si può fare la verifica sostituendo al posto dell’incognita il valore trovato.

$\sqrt{x+\sqrt 2}=\frac {14-x^2}{\sqrt{x -\sqrt 2}}$

Imponendo la condizione di esistenza $x \neq \sqrt 2$ , otteniamo:

$\sqrt{x+\sqrt 2} \sqrt{x-\sqrt 2}=14-x^2$

$\sqrt{x^2 - 2}=14-x^2$

Elevando tutto al quadrato, imponendo la condizione di esistenza

$x \geq \sqrt 2,$

aggiungendo anche che

$14-x^2 \geq 0 \Rightarrow -\sqrt {14} \leq x \leq \sqrt{14}$

otteniamo:

$x^2-2=196-28x^2+x^4$

$x^4-29x^2+198=0$

Senza fare grossi calcoli ci accorgiamo che:

$x^4-18x^2-11x^2+198=0$

$x^2(x^2-18)-11(x^2-18)=0$

$(x^2-18)(x^2-11)=0$

Avremo due casi:

$x^2=18$

ma questa non ammetterà soluzioni accettabili…

$x^2=11 \rightarrow x= \pm \sqrt{11}$

da cui:

$x= \sqrt {11}$ è l’unica soluzione accettabile.

$\frac {2x}{\sqrt {x(3x+2)}}-3x - \sqrt {3x^2+2x}=0$

Imponendo la condizione di esistenza $x < -\frac 23 \quad \lor \quad x >0$ otteniamo:

$-3x \sqrt {3x^2+2x}-3x^2=0$

$3x(\sqrt {3x^2+2x}+x)=0$

Sapendo che $x \neq 0$ , otteniamo:

$\sqrt{3x^2+2x}=-x$

Elevando al quadrato avremo:

$3x^2+2x=x^2$

$2x^2+2x=0$

$2x(x+1)=0$

da cui

$x=-1$ .

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