Fabrizio scrive: Esercizio di trigonometria

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Oggetto: Trigonometria

Corpo del messaggio:
Nel triangolo ABC rettangolo in A si sa che AB=3 e BC=5 Siano D un punto di AC tale che tgABD=2/3 ed E il punto di BC tale che risulti EDC=2ABD. determinare perimetro e area del triangolo DEC [soluzione perimetro:36/7; area=8/7

Grazie mille in anticipo
Fabrizio

 

Risposta dello staff

Essendo ABD retto in A, con ipotenusa BD, possiamo ricavare subito AD, chiamando A\widehat{B}D=\alpha:

    \[AD=ABtg \alpha=\frac 23 AB=2\]

Quindi ricaviamo subito che:

    \[DC=AC-AD=4-2=2\]

,

sapendo che AC avrà lunghezza 4 (applicare il teorema di Pitagora).

Ora sappiamo che

    \[E\widehat{D}C=2\alpha\]

e quindi:

    \[tg(2\alpha)=\frac {2 tg \alpha}{1-tg^2 \alpha}=\frac {2 \cdot \frac 23 }{1- \frac49}=\frac {12}{5}\]

    \[sen(2\alpha)= \frac {tg 2\alpha}{\sqrt{1+tg^2 2\alpha}}=\frac {\frac {12}{5}}{\sqrt{1+\frac {144}{25}}}=\frac {12}{5} \cdot \frac {5}{13}=\frac {12}{13}\]

Dal triangolo iniziale possiamo ricavare il seno di A \widehat{C}B, sapendo che:

    \[AB=BC sen\left(A \widehat{C}B\right) \rightarrow sen\left( A \widehat{C}B\right)=\frac 35\]

In pratica adesso, di EDC ci manca solo il terzo angolo, che, chiamano \gamma l’angolo in C, sarà:

    \[\epsilon=180^\circ - 2\alpha- \gamma\]

e quindi:

    \[sen(\epsilon)=sen(180^\circ - 2\alpha- \gamma)\]

    \[sen(\epsilon)=sen(2\alpha)cos\gamma+ cos(2\alpha)sen\gamma\]

    \[sen(\epsilon)=\frac {12}{13} \cdot \sqrt{1-\frac {9}{25}}+ \frac 35 \cdot \sqrt {1-\frac {144}{169}}\]

    \[sen(\epsilon)=\frac {12}{13} \frac {4}{5}+ \frac 35 \cdot \frac {5}{13}\]

    \[sen(\epsilon)= \frac {48}{65}+ \frac {15}{65}=\frac {63}{65}\]

Ricordando il teorema dei seni,

    \[DC:sen \epsilon=CE : sen 2\alpha = ED : sen \gamma\]

ricaviamo:

    \[CE=\frac {2* \frac {12}{13}}{ \frac{63}{65}}= \frac {24}{13} \frac {65}{63}=\frac {40}{21}\]

    \[ED=\frac {2* \frac {3}{5}}{ \frac{63}{65}}= \frac {6}{5} \frac {65}{63}=\frac {26}{21}\]

Quindi il perimetro sarà:

    \[2p = 2+\frac {40}{21}+\frac {26}{21} =\frac {42+40+26}{21}=\frac { 36}{7}\]

e l’area:

    \[A_{EDC} = \frac 12 DC \cdot CE \cdot sen \gamma = \frac 12 \cdot 2 \cdot \frac {40}{21} \frac 35 =\frac 87\]

 

 

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