Nicolo scrive: Esercizi sistema di disequazioni

Oggetto:

Corpo del messaggio:

$\begin{cases} \frac{x+3-\sqrt{x^2+x}}{x^3+x^2-x-1} \ge 0\\ \frac{\sqrt{16-x^2}+2}{\left|x\right| - \left|x+3\right|} < 0 \end{cases}$

Analizziamo pezzo per pezzo:

$x+3- \sqrt{x^2+x} \geq 0$

$\sqrt{x^2+x} \leq x+3$

$\begin{cases} x^2+x \geq 0 \\ x+3 \geq 0 \\ x^2+x \leq x^2+6x+9\end{cases}$

$\begin{cases} x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ x \geq -3 \\ 5x+9\geq 0\end{cases}$

$\begin{cases} x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ x \geq -3 \\ x\geq -\frac 95\end{cases}$

Quindi, il numeratore della prima disequazione è positivo per

$-\frac 95 \leq x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 0$

e negativo per

$x < -\frac 95$ .

Prendiamo il primo denominatore:

$x^3+x^2-x-1 >0$

$x^2(x+1)-(x+1)>0$

$(x^2-1)(x+1)>0$

$(x+1)^2(x-1)>0$

Quindi sarà positivo per:

$x > 1$

negativo per

$x<1 \quad \mbox { con} x \neq -1$

andando a fare il grafico otteniamo che la prima disequazione è verificata per:

$x \leq -\frac 95 \quad \lor \quad x>1$ .

Nel secondo sistema ci si accorge subito che il numeratore, ove verificata l’esistenza del radicando è sempre positivo, mentre il denominatore:

$\left|x\right| - \left|x+3\right|>0$

dobbiamo dividerlo in 3 sistemi:

$\begin{cases} x< -3 \\ -x +x+3>0\end{cases} \quad \begin{cases} -3 \leq x< 0 \\ -x -x-3>0\end{cases} \quad \begin{cases} x>0 \\ x-x-3>0\end{cases}$

$\begin{cases} x< -3 \\ 3>0\end{cases} \quad \begin{cases} -3 \leq x< 0 \\ x < -\frac 32 \end{cases} \quad \begin{cases} x>0 \\ -3>0\end{cases}$

che darà come risultati:

$x<-\frac32.$

Questa, intersecata alla soluzione del numeratore $-4 \leq x \leq 4$ , fa si che la seconda disequazione sia verificata per:

$-\frac 32 <x\leq 4$

Quindi, il sistema iniziale diventerà:

$\begin{cases} x \leq -\frac 95 \quad \lor \quad x>1 \\ -\frac 32 <x\leq 4\end{cases}$

che ammetterà come soluzione

$1<x\leq 4$

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