Leandro scrive: Disequazioni irrazionali

Oggetto: Disequazioni irrazionali

Corpo del messaggio:

$\sqrt { \left | x \right| +1}<3$

Distinguiamo due casi:

$\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt { x +1}<3 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x < 0 \\ \sqrt { -x +1}<3 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x +1< 9 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x < 0 \\ -x +1< 9 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x < 8 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x < 0 \\ -x < 8 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x < 8 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x < 0 \\ x > - 8 \end{cases}$

Quindi avremo che il primo sistema sarà verificato per:

$0 \leq x <8$

e il secondo per

$-8<x<0.$

Unendo le due soluzioni otteniamo:

$-8<x<8.$

$\sqrt { \left | x \right| +1}<1-x$

Distinguiamo due casi:

$\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt { x +1}<1-x \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x < 0 \\ \sqrt { -x +1}<1-x \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\ 1-x \geq 0 \\ x +1<1-2x+x^2 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x < 0 \\1-x \geq 0 \\ 1 -x < 1-2x+x^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x \leq 1 \\ x^2-3x >0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x < 0 \\x \leq 1 \\ x^2-x>0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq 0 \\ x \leq 1 \\ x<0 \quad \lor \quad x>3 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x < 0 \\x \leq 1 \\ x<0 \quad \lor \quad x>1 \end{cases}$

Quindi avremo che il primo sistema non è mai verificato, mentre il secondo, che darà la soluzione della disequazione iniziale, sarà verificato per

$x<0.$

$\sqrt{1+x^2}<2-\left|x\right|$

Essendo $1+x^2$ sempre positivo, ci limiteremo a studiare:

$\begin{cases} 2- \left|x\right| >0 \\ 1+x^2<4+x^2-4 \left|x \right|\end{cases}$

$\begin{cases} -2 <x<2\\ 4\left| x \right |<3\end{cases}$

$\begin{cases} -2 <x<2\\ -\frac 34 <x<\frac 34\end{cases}$

Intersecando il tutto otteniamo:

$-\frac 34 <x<\frac 34.$

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Matebook

La matematica spiegata passo passo

Leandro scrive: Disequazioni irrazionali

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