Fiorenza scrive: Sistemi di disequazioni

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Oggetto: Sistemi di disequazioni

Corpo del messaggio:
Il sistema è composto dalle seguenti disequazioni:
9x^2+12x+4>0
3/(x+1)-1/x>1/2
2x^2+x<=10
Grazie, per l’aiuto.

Risposta dello staff

    \[\begin{cases} 9x^2+12x+4 >0 \\ \frac {3}{x+1} -\frac 1x > \frac 12 \\ 2x^2+x \leq 10\end{cases}\]

Analizziamole singolarmente:

  • 9x^2+12x+4>0

Questo è un quadrato di binomio:

(3x+2)^2>0,

e quindi questa disequazione è sempre verificata eccetto il valore che annulla il binomio; la soluzione è:

\forall x \in \mathbb{R} \, \, \mbox { con } x \neq - \frac 23.

  • \frac {3}{x+1} -\frac 1x > \frac 12

\frac {6x-2x-2-x^2-x}{2x(x+1)} > 0

\frac {-x^2+3x-2}{2x(x+1)} > 0

\frac {x^2-3x+2}{2x(x+1)}< 0

N>0 \rightarrow (x-1)(x-2)>0 \rightarrow x<1 \quad \lor \quad x>2

D>0 \rightarrow x<-1 \quad \lor \quad x>0.

Quindi, la disequazione iniziale sarà verificata per:

-1<x<0 \quad \lor \quad 1<x<2

  • 2x^2+x -10 \leq 0

(2x+5)(x-2) \leq 0

Quindi la disequazione sarà verificata per:

-\frac 52 \leq x \leq 2

Mettiamo tutto a sistema:

    \[\begin{cases} \forall x \in \mathbb{R} \, \, \mbox { con } x \neq - \frac 23 \\ -1<x<0 \quad \lor \quad 1<x<2 \\ -\frac 52 \leq x \leq 2 \end{cases}\]

La soluzione finale sarà:

    \[-1<x<0 \, \, \mbox { con } x \neq - \frac 23 \quad \lor \quad 1<x<2\]

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