Cosimo scrive: Problema

Oggetto: N20

Corpo del messaggio:

Consideriamo il trapezio rettangolo AOCP. Tracciando la perpendicolare da P al lato AO, otteniamo il lato PH congruente ad OC.

Adesso, possiamo ricavare OH con il teorema di Pitagora, in quanto:

$OH^2=OP^2-PH^2=r^2-x^2$

Quindi avremo che:

$AH=AO-OH=r-\sqrt{r^2-x^2}$

Ricaviamo AP con il teorema di Pitagora:

$AP^2=AH^2+HP^2=\left(r-\sqrt{r^2-x^2}\right)^2+x^2$

Imponendo la condizione richiesta dall’esercizio otteniamo:

$\left(r-\sqrt{r^2-x^2}\right)^2+x^2=\frac {2r^2}{9}$

$r^2-2r\sqrt{r^2-x^2}+r^2-x^2+x^2=\frac {2r^2}{9}$

$2r^2-\frac {2r^2}{9}=2r\sqrt{r^2-x^2}$

$r-\frac {r}{9}=\sqrt{r^2-x^2}$

$\frac 89 r=\sqrt{r^2-x^2}$

$\frac {64}{81}r^2=r^2-x^2$

$x^2=r^2-\frac {64}{81}r^2$

$x^2=\frac {17}{81}r^2$

$x= \frac {\sqrt {17}}{9}r$

Escludiamo la soluzione negativa, in quanto l’incognita rappresenta la misura di un lato.

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