Fabio scrive: Problema con euclide disegno

Pubblicato il 20 Maggio 2014 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: problema con euclide

Corpo del messaggio:
in un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 50a e la somma dei due cateti e l’altezza relativa all’ipotenusa misura 94a , trovare perimetro ed aria

Risposta dello staff

Per Euclide sappiamo che:

$MN^2=NK \cdot NP$

$MP^2=PK \cdot NP$

Ponendo i due cateti come incognite, $MN=x$ , e $MP=y$ avremo:

$NK=\frac {x^2}{50a}$

$PK=\frac {y^2}{50a}$

Per il secondo teorema di Euclide sappiamo che:

$MK=\sqrt{NK \cdot PK}=\frac {xy}{50a}$

Avremo quindi il sistema:

$\begin{cases} x+y+\frac{xy}{50a}=94a \\ x^2+y^2=2500a^2 \end{cases}$

Essendo un sistema simmetrico, poniamo $x+y=s$ e $xy=p$ e otteniamo:

$\begin{cases} s+\frac{p}{50a}=94a \\ s^2-2p=2500a^2 \end{cases}$

$\begin{cases} p=4700a^2-50as \\ s^2-2p=2500a^2 \end{cases}$

$\begin{cases} p=4700a^2-50as \\ s^2-9400a^2+100as-2500a^2=0\end{cases}$

$\begin{cases} p=4700a^2-50as \\ s^2+100as-11900a^2=0\end{cases}$

$\begin{cases} p=4700a^2-50as \\ (s+170a)(s-70a)=0\end{cases}$

Ovviamente potremo accettare solo una soluzione e quindi:

$\begin{cases} p=4700a^2-3500a^2 \\ s=70a \end{cases}$

$\begin{cases} p=1200a^2 \\ s=70a \end{cases}$

$\begin{cases} xy=1200a^2 \\ x+y=70a \end{cases}$

$\begin{cases} xy=1200a^2 \\ x=70a-y \end{cases}$

$\begin{cases} 70ay-y^2-1200a^2=0 \\ x=70a-y \end{cases}$

$\begin{cases} y^2-70ay+1200a^2=0 \\ x=70a-y \end{cases}$

$\begin{cases} (y-40a)(y-30a)=0 \\ x=70a-y \end{cases}$

Le soluzioni saranno quindi:

$x=30a$ e $y=40a$ .

$2p=30a+40a+50a=120a$

$A=\frac{30a \cdot 40a }{2}=600a^2$

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