Leandro scrive: Fasci di circonferenze

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Oggetto: Fasci di circonferenze

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 Risposta dello staff

Il modo migliore per capire in che relazione sono le due circonferenze è studiare la distanza tra i due centri:

C_1(1;-2)

r_1=\sqrt 7

C_2(0;3)

r_2= 1

Calcoliamo la distanza tra i centri e vediamo che:

C_1C_2=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}> \sqrt 7+1

Di conseguenza, essendo la distanza tra i centri maggiore della somma dei raggi, le due circonferenze non sono secanti.

Ricaviamo l’asse radicale del fascio:

\begin{cases} x^2+y^2-2x+4y-2=0 \\ x^2+y^2-6y+8=0 \end{cases}

\begin{cases} x^2+y^2-2x+4y-2=0 \\ 2x-10y+10=0 \end{cases}

\begin{cases} x^2+y^2-2x+4y-2=0 \\ x-5y+5=0 \end{cases}

L’equazione del fascio risulta essere quindi:

x^2+y^2-6y+8+k(x-5y+5)=0.

Ci viene chiesto di trovare per quale valore di k il centro giace sulla retta e quindi, ricaviamo il generico centro :

C\left(-\frac k2; \frac {6+5k}{2} \right)

e imponiamo che questo giacca su y=-8x

\frac {6+5k}{2}=-8 (-\frac k2)

6+5k=8k

3k=6

k=2

Per determinare il luogo dei centri, studiamo il sistema:

\begin{cases} x= -\frac k2 \\ y= \frac {6+5k}{2}\end{cases}

\begin{cases} k=-2x \\ y= \frac {6+5k}{2}\end{cases}

\begin{cases} k=-2x \\ y= \frac {6-10x}{2}\end{cases}

\begin{cases} k=-2x \\ y= 3-5x \end{cases}.

Ora, sapendo che il centro della circonferenza ha ascissa 2, avremo che:

-\frac k2=2

k=-4

da cui, ricaviamo la circonferenza:

x^2+y^2-6y+8-4(x-5y+5)=0

x^2+y^2-6y+8-4x+20y-20=0

x^2+y^2-4x+14y-12=0

e ricaviamo il raggio:

r=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac b2\right)^2-c}\sqrt{4+49+12}=\sqrt{65}

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