Nicolò scrive: aiutoooo esame matematica 1 – Esercizio 1

Studiare l’andamento della funzione:

$f(x)=\begin{cases} x e^{-\frac{1}{x^2}} \qquad x \neq 0 \\ 0 \qquad x =0$

Per costruzione, il dominio sarà tutto $\mathbb{R}$ .

Visto che la funzione esponenziale è sempre positiva, la positività dipende dalla x, e quindi:

$f(x)>0 \iff x>0$

$f(x)=0 \iff x=0$

$f(x)<0 \iff x<0$

Studiamo parità e disparità:

$f(-x)=-xe^{-\frac{1}{x^2}}$

$-f(x)=-xe^{-\frac{1}{x^2}}$

La funzione è quindi dispari.

Studiamo i limiti all’infinito:

$\lim_ {x \to \pm \infty}f(x)= \pm \infty$

Studiamo la derivata prima:

$f'(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}+xe^{-\frac{1}{x^2}}\left(\frac {1}{x^3}\right)$

$f'(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}+\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^2}$

$f'(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}(1+\frac {1}{x^2})$

Essendo due fattori entrambi strettamente positivi avremo:

$f'(x)>0 \iff x\neq 0$

$f'(x)=0 \iff x=0$

Studiamo la derivata seconda:

$f''(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}\frac{1}{x^3}(1+\frac {1}{x^2})+e^{-\frac{1}{x^2}}(-\frac {1}{x^3})$

$f''(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}\frac{1}{x^3}(1+\frac {1}{x^2}-1)=\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^5}$

Di conseguenza avremo che:

$f''(x)>0 \iff x>0$

$f''(x)=0 \iff x=0$

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