Francesca scrive: Integrali

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Oggetto: INTEGRALI

Corpo del messaggio:
Integrali del tipo  ∫ 1/(x^2-a^2)^1/2
∫ 1/(x^2-4)^1/2 dx

Risposta dello staff

Basterà applicare la sostituzione:

x=asec (t)

con

t \in [0;\frac {\pi}{2} \right) \mbox{ o } t \in \left( \pi; \frac 32 \pi\right]

Il radicando diventerà:

x^2-a^2=a^2sec^2(t) - a^2=a^2(sec^2(t)-1)=a^2tg^2t

e il differenziale sarà:

dx=a sec(t) tg(t) dt

L’integrale diventerà quindi:

\int \frac{1}{atg(t)}a sec(t) tg(t) \, dt=\int sec(t) \, dt= log\left|sec(t)+tg(t)\right|+C.

Sostituendo avremo la soluzione:

log \left| \frac xa +\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} \right|+c=log \left| x +\sqrt{x^2-a^2} \right| - log (a)+c

Ma essendo log(a) una costante, potremmo assimilarla nella c. Ora, valendo per qualsiasi a, sostituiamo alla a il valore 2, ovvero quello richiesto dalla traccia e otteniamo:

\int \frac{1}{\sqrt{x^2-4}} \, dx=log \left| x +\sqrt{x^2-4} \right|+c

 

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