Ginevra scrive: Matematica

Oggetto: Matematica

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20150831_114712

 

 

Risposta dello staff

f(x)= \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} \, \, \, \mbox{ se } \, \, \, x \neq 0 ; -1 \leq x \leq 1 \\ -\frac{x^2}{e}+\frac 2e \, \, \, \mbox{ se } \, \, \, x = 0 ; x <-1\quad \lor \quad  x > 1 \end{cases}

Dalla definizione della funzione ci accorgiamo che il dominio è tutto \mathbb{R}

Studiamo quindi la positività, notando che la funzione è sicuramente pari, essendoci solo termini quadratici:

f(x)>0

Sicuramente sarà positiva per -1\leq x \leq 1, essendo formata da una funzione esponenziale.

studiamo invece nel resto del dominio:

\frac 2e -\frac{x^2}{e} >0

2-x^2>0

x^2<2

-\sqrt 2 <x<\sqrt 2

Unendo le due soluzioni, avremo:

f(x) >0 \iff -\sqrt 2 <x<\sqrt 2

f(x) =0 \iff x= \pm \sqrt 2

f(x) <0 \iff x<-\sqrt 2 \quad \lor \quad x> \sqrt 2

Studiamo la continuità nei punti di contatto delle due funzioni:

    \[\lim_{x \to -1^-} f(x)=\frac 1e\]

    \[\lim_{x \to -1^+} f(x)=\frac 1e\]

    \[\lim_{x \to 0^-} f(x)= 0\]

    \[f(0)=\frac 2e\]

    \[\lim_{x \to 0^+} f(x)=0\]

    \[\lim_{x \to 1^-} f(x)=\frac 1e\]

    \[\lim_{x \to 1^+} f(x)=\frac 1e\]

questi ultimi due erano superflui essendo simmetrica rispetto all’asse delle x ed avendolo già studiato per x=-1

Quindi avremo che la funzione in 0 nn è continua.

    \[\lim_{x \to \infty} f(x)=-\infty\]

Studiamo la derivata prima:

f'(x)= \begin{cases} \frac{2}{x^3}e^{-\frac{1}{x^2}} \, \, \, \mbox{ se } \, \, \, x \neq 0 ; -1 \leq x \leq 1 \\ -\frac{2x}{e} \, \, \, \mbox{ se } \, \, \, x = 0 ; x <-1\quad \lor \quad  x > 1 \end{cases}

Da qui notiamo che:

f'(x)>0 \iff x<-1

f'(x) <0 \iff -1 \leq x <0

f'(x) =0 \iff  x =0

f'(x) >0 \iff 0<  x \leq 1

f'(x) <0 \iff x >1

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