Ginevra scrive: Matematica

Oggetto: Matematica

Corpo del messaggio:

Risposta dello staff

$f(x)= \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} \, \, \, \mbox{ se } \, \, \, x \neq 0 ; -1 \leq x \leq 1 \\ -\frac{x^2}{e}+\frac 2e \, \, \, \mbox{ se } \, \, \, x = 0 ; x <-1\quad \lor \quad x > 1 \end{cases}$

Dalla definizione della funzione ci accorgiamo che il dominio è tutto $\mathbb{R}$

Studiamo quindi la positività, notando che la funzione è sicuramente pari, essendoci solo termini quadratici:

$f(x)>0$

Sicuramente sarà positiva per $-1\leq x \leq 1$ , essendo formata da una funzione esponenziale.

studiamo invece nel resto del dominio:

$\frac 2e -\frac{x^2}{e} >0$

$2-x^2>0$

$x^2<2$

$-\sqrt 2 <x<\sqrt 2$

Unendo le due soluzioni, avremo:

$f(x) >0 \iff -\sqrt 2 <x<\sqrt 2$

$f(x) =0 \iff x= \pm \sqrt 2$

$f(x) <0 \iff x<-\sqrt 2 \quad \lor \quad x> \sqrt 2$

Studiamo la continuità nei punti di contatto delle due funzioni:

$\lim_{x \to -1^-} f(x)=\frac 1e$

$\lim_{x \to -1^+} f(x)=\frac 1e$

$\lim_{x \to 0^-} f(x)= 0$

$f(0)=\frac 2e$

$\lim_{x \to 0^+} f(x)=0$

$\lim_{x \to 1^-} f(x)=\frac 1e$

$\lim_{x \to 1^+} f(x)=\frac 1e$

questi ultimi due erano superflui essendo simmetrica rispetto all’asse delle x ed avendolo già studiato per $x=-1$

Quindi avremo che la funzione in 0 nn è continua.

$\lim_{x \to \infty} f(x)=-\infty$

Studiamo la derivata prima:

$f'(x)= \begin{cases} \frac{2}{x^3}e^{-\frac{1}{x^2}} \, \, \, \mbox{ se } \, \, \, x \neq 0 ; -1 \leq x \leq 1 \\ -\frac{2x}{e} \, \, \, \mbox{ se } \, \, \, x = 0 ; x <-1\quad \lor \quad x > 1 \end{cases}$