Poligoni regolari

LEGENDA
lato : l
altezza : h
diagonale : d
perimetro : 2p
semiperimetro : p
apotema : $\alpha$
raggio della circonferenza circoscritta : R
raggio della circonferenza inscritta : r
Area : A

Definizione: si dice regolare un poligono equilatero ed equiangolo.

Proprietà: ogni poligono regolare è inscrittibile e circoscrittibile, e le due circonferenze hanno lo stesso centro.

Definizione: si dice apotema di un poligono regolare il raggio del cerchio inscritto nel poligono.

In generale in un poligono regolare con n lati di lato l e apotema $a$ :
$2p=nl$

$A=pa$ (semiperimetro per apotema)

Poligono	angolo	lato	apotema	perimetro
Triangolo	60°	$l=R\sqrt3$	$\alpha=\fracR2$	$2p=3l$
Quadrato	90°	$l=R\sqrt 2$	$\alpha=\frac R2 \sqrt 2$	$2p=4l$
Pentagono convesso	108°	$l=\frac R2 \sqrt {10-2\sqrt5}$	$\alpha=\frac R 2 (\sqrt 5 -1)$	$2p=5l$
Pentagono stellato		$l=\frac R2 \sqrt {10+2\sqrt5}$	$\alpha=\frac R 4 (\sqrt 5 -1)$
Esagono	120°	$l=R$	$\alpha=\frac R 2 (\sqrt 3)$	$2p=6l$
Ottagono convesso	135°	$l=R\sqrt{2-\sqrt2}$	$\alpha=\frac R 2 \sqrt {2 + \sqrt 2}$	$2p=8l$
Ottagono stellato		$l=R\sqrt{2+\sqrt2}$	$\alpha=\frac R 2 \sqrt {2 - sqrt 2 }$
Decagono convesso	144°	$l=\frac R 2 (\sqrt 5 -1)$	$\alpha=\frac R 4 \sqrt {10 + 2\sqrt 5}$	$2p=10l$
Decagono stellato		$l=\frac R 2 (\sqrt 5 +1)$	$\alpha=\frac R 4 \sqrt {10 - 2\sqrt 5}$
Dodecagono convesso	150°	$l=\frac R 2 (\sqrt 6 - \sqrt 2)$	$\alpha=\frac R 4 (\sqrt 6 + \sqrt 2)$	$2p=12l$

Poligono	Area (noto l)	Area (noto R)
Triangolo	$A=\frac {l^2}{4}\sqrt 3$	$A=\frac {3R^2}{4}\sqrt 3$
Quadrato	$A=l^2$	$A=2R^2$
Pentagono convesso	$A=\frac {l^2}{4} \sqrt {25+10\sqrt 5}$	$A=\frac {5R^2}{8} \sqrt {10+2\sqrt 5}$
Pentagono stellato		$A=\frac {5R^2}{4}\sqrt{50 - 22 \sqrt 5}$
Esagono	$A=\frac {3l^2}{2}\sqrt 3$	$A=\frac {3R^2}2 \sqrt 3$
Ottagono convesso	$A=2l^2(\sqrt 2 +1)$	$A=2R^2\sqrt 2$
Ottagono stellato		$A=4r^2(\sqrt 2 -1)$
Decagono convesso	$A=\frac {5l^2}{2} \sqrt {5+2\sqrt 5}$	$A=\frac {5R^2}{4} \sqrt {10-2\sqrt 5}$
Decagono stellato		$A=\frac {5R^2}{2}\sqrt{50 - 22 \sqrt 5}$
Dodecagono convesso		$A=3R^2$

Altre proprietà:

Triangolo equilatero
L’altezza del triangolo equilatero: $h=\frac {l\sqrt 3}{2}$

Quadrato
La diagonale del quadrato noto il lato: $d=l\sqrt 2$
Il lato del quadrato nota la diagonale: $l=\frac {\sqrt 2}{2}d$ ; $l=\sqrt A$

Pentagono regolare convesso
Il lato del pentagono regolare corrisponde alla sezione aurea della sua diagonale: $l=\frac {\sqrt 5 -1}{2}d$
La diagonale del pentagono regolare in funzione del lato: $d=\frac l 2 (\sqrt 5 +1)$

Esagono regolare convesso
L’esagono regolare è inscrittibile in una circonferenza il cui raggio è uguale al lato dell’esagono

Decagono regolare convesso
Il lato del decagono regolare convesso è uguale alla sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta: $l=\frac R 2 (\sqrt 5 -1)$

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Poligoni regolari

Poligono

angolo

lato

apotema

perimetro

Poligono

Area (noto l)

Area (noto R)

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