Poligoni regolari

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LEGENDA
lato : l
altezza : h
diagonale : d
perimetro : 2p
semiperimetro : p
apotema : \alpha
raggio della circonferenza circoscritta : R
raggio della circonferenza inscritta : r
Area : A

 

Definizione: si dice regolare un poligono equilatero ed equiangolo.

Proprietà: ogni poligono regolare è inscrittibile e circoscrittibile, e le due circonferenze hanno lo stesso centro.

Definizione: si dice apotema di un poligono regolare il raggio del cerchio inscritto nel poligono.

In generale in un poligono regolare con n lati di lato l e apotema a:
 2p=nl

A=pa (semiperimetro per apotema)

Poligono

angolo

lato

apotema

perimetro
Triangolo 60° l=R\sqrt3 \alpha=\fracR2 2p=3l
Quadrato 90° l=R\sqrt 2 \alpha=\frac R2 \sqrt 2 2p=4l
Pentagono convesso 108° l=\frac R2 \sqrt {10-2\sqrt5} \alpha=\frac R 2 (\sqrt 5 -1) 2p=5l
Pentagono stellato l=\frac R2 \sqrt {10+2\sqrt5} \alpha=\frac R 4 (\sqrt 5 -1)
Esagono 120° l=R \alpha=\frac R 2 (\sqrt 3) 2p=6l
Ottagono convesso 135° l=R\sqrt{2-\sqrt2} \alpha=\frac R 2 \sqrt {2 + \sqrt 2} 2p=8l
Ottagono stellato l=R\sqrt{2+\sqrt2} \alpha=\frac R 2 \sqrt {2 - sqrt 2 }
Decagono convesso 144° l=\frac R 2 (\sqrt 5 -1) \alpha=\frac R 4 \sqrt {10 + 2\sqrt 5} 2p=10l
Decagono stellato l=\frac R 2 (\sqrt 5 +1) \alpha=\frac R 4 \sqrt {10 - 2\sqrt 5}
Dodecagono convesso 150° l=\frac R 2 (\sqrt 6 - \sqrt 2) \alpha=\frac R 4 (\sqrt 6 + \sqrt 2) 2p=12l

 

Poligono

Area (noto l)

Area (noto R)
Triangolo A=\frac {l^2}{4}\sqrt 3 A=\frac {3R^2}{4}\sqrt 3
Quadrato A=l^2 A=2R^2
Pentagono convesso A=\frac {l^2}{4} \sqrt {25+10\sqrt 5} A=\frac {5R^2}{8} \sqrt {10+2\sqrt 5}
Pentagono stellato A=\frac {5R^2}{4}\sqrt{50 - 22 \sqrt 5}
Esagono A=\frac {3l^2}{2}\sqrt 3 A=\frac {3R^2}2 \sqrt 3
Ottagono convesso A=2l^2(\sqrt 2 +1) A=2R^2\sqrt 2
Ottagono stellato A=4r^2(\sqrt 2 -1)
Decagono convesso A=\frac {5l^2}{2} \sqrt {5+2\sqrt 5} A=\frac {5R^2}{4} \sqrt {10-2\sqrt 5}
Decagono stellato A=\frac {5R^2}{2}\sqrt{50 - 22 \sqrt 5}
Dodecagono convesso A=3R^2

 

Altre proprietà:
Triangolo equilatero 
L’altezza del triangolo equilatero:h=\frac {l\sqrt 3}{2}		 Quadrato 
La diagonale del quadrato noto il lato:d=l\sqrt 2
Il lato del quadrato nota la diagonale: l=\frac {\sqrt 2}{2}d ; l=\sqrt A
Pentagono regolare convesso 
Il lato del pentagono regolare corrisponde alla sezione aurea della sua diagonale: l=\frac {\sqrt 5 -1}{2}d
La diagonale del pentagono regolare in funzione del lato:d=\frac l 2 (\sqrt 5 +1)

Esagono regolare convesso 
L’esagono regolare è inscrittibile in una circonferenza il cui raggio è uguale al lato dell’esagono

Decagono regolare convesso
Il lato del decagono regolare convesso è uguale alla sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta: l=\frac R 2 (\sqrt 5 -1)

 

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