Similitudini

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Si definisce similitudine piana di rapporto k, con k\in R^+, ogni trasformazione geometrica piana che a due punti quasiasi A e B del piano fa corrispondere rispettivamente i punti A' e B' in modo che risulti A'B' \cong k AB; la costante k rappresenta il rapporto di similitudine. Ogni similitudine piana trasforma un angolo in un angolo a esso congruente, una circonferenza in una circonferenza e conserva l’allineamento, il parallelismo, l’incidenza, la perpendicolarità. Anche le similitudini piane si suddividono in dirette e invertenti.

L’omotetia è quindi una particolare similitudine, in cui i punti corrispondenti sono allineati con un punto fisso O detto centro di omotetia.

Si ricava che le equazioni di una similitudine diretta di rapporto k sono

\bigg \{ \begin{array}{rl} x'=ax-by+e \\ y'=bx+ay+f \\ \end{array}

con matrice A = \bigg [ \begin{array}{rl} a & -b \\ b & a \\ \end{array} \bigg ] ,

\mathrm{det}A= \begin{vmatrix} a & -b \\ b & a \end{vmatrix} = a^2+b^2 >0 , k=\sqrt {|\mathrm{det}A |}=\sqrt {a^2+b^2},

mentre quelle di una similitudine invertente di rapporto k sono

\bigg \{ \begin{array}{rl} x'=ax+by+e \\ y'=bx-ay+f \\ \end{array}

con matrice A = \bigg [ \begin{array}{rl} a & b \\ b & -a \\ \end{array} \bigg ] ,

\mathrm{det}A= \begin{vmatrix} a & b \\ b & -a \end{vmatrix} = -a^2-b^2 <0 , k=\sqrt {|\mathrm{det}A|}=\sqrt {a^2+b^2}.

In particolare, se |\mathrm{det}A|=1, la similitudine è una isometria.

 

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