Esercizio 10 Problemi di geometria

Traccia

In un triangolo isoscele la base supera il lato di $4a$ e la somma della metà della base e dei $\frac 35$ del lato è congruente alla base stessa. Determinare il diametro della circonferenza circoscritta. 25a

Svolgimento

Dato AB base del triangolo, avremo che, ponendo $AC=BC=x$

$AB=x+4$

$\frac 12 AB + \frac 35 x = AB$

Sostituendo nella seconda equazione otteniamo:

$\frac 12 x + 2 + \frac 35 x = x+4$

$5x+20+6x=10x+40$

$x=20$

Quindi avremo:

$AC=BC=20a$

$AB=24a$
Sia CH altezza del triangolo isoscele

$AH=HB = \frac {24}{2}a=12a$
$CH=\sqrt {AC^2 - AH^2} = \sqrt {20^2 - 12^2} a=\sqrt {400-144}a =\sqrt {256}a = 16a$

La formula per calcolare il raggio di una circonferenza circoscritta è:

$r=\frac {AB \cdot BC \cdot AC}{4 A_{ABC}}$

L’area del triangolo sarà:

$A_{ABC}=\frac {AB \cdot CH}{2}$

Sostituendo nella formula del raggio, per semplificare otteniamo:

$r=\frac { BC \cdot AC}{2CH}=\frac {20a \cdot 20a}{2 \cdot 16 a}=12,5 a$

$d=2r=25a$ .

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Esercizio 10 Problemi di geometria

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