Esercizio 18 Problemi di geometria

Traccia

In una circonferenza di centro $O$ è inscritto il triangolo isoscele $ABC$ , di base $BC$ e la cui altezza relativa alla base è $AH>AO$ . Si sa che sono verificate le seguenti relazioni:

$\frac 14 AH + \frac 25 BO=9 \mbox { cm }; \quad AO-OH=9 \mbox { cm }$

.Determinare il perimetro del triangolo e la sua area.

Svolgimento

Dai dati possiamo notare che:

$AH=AO+OH$

$BO=AO$ ,

quindi, ponendo $AO=r$ e $AH=x$ , otteniamo:

$\begin{cases} \frac 14 x + \frac 25 r=9 \\ r-x+r=9\end{cases}$

$\begin{cases} 5 x + 8 r=180 \\2 r-x=9\end{cases}$

$\begin{cases} 5(2r-9)+8r = 180 \\ x=2r-9\end{cases}$

$\begin{cases} 10r-45+8r = 180 \\ x=2r-9\end{cases}$

$\begin{cases} 18r = 225 \\ x=2r-9\end{cases}$

$\begin{cases} r = \frac {25}{2} \\ x=16\end{cases}$

Avremo quindi:

$AH=16 \mbox { cm}$

$AO=12,5 \mbox { cm}$

$OH=3,5 \mbox { cm}$

Prolungando l’altezza fino ad incontrare in D la circonferenza, avremo che:

$HD=2r-AH=(25-16)\mbox { cm}=9 \mbox { cm}$ .

Ora possiamo ricavare BH con il teorema di Euclide:

$BH= \sqrt {DH \cdot AH}=\sqrt {9 \cdot 16} \mbox { cm}=\sqrt {144}\mbox { cm}=12 \mbox { cm}$

$BC=24 \mbox { cm}$

L’area quindi sarà:

$A=\frac {AH \cdot BC}{2}=\frac {16 \cdot 24}{2}\mbox { cm}^2=192 \mbox { cm}^2$ .

Per il perimetro ricaviamo il lato obliquo con Euclide:

$AB=\sqrt {AH \cdot AD}=\sqrt {16 \cdot 25} \mbox { cm}=20\mbox { cm}$

Quindi:

$2p=(20+20+24)\mbox { cm}=64 \mbox { cm}$ .

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