Problema 2.2 PNI 2010

Problema 2

Nel piano riferito ad un sistema $Oxy$ di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: $y^2=2x$ e $x^2=y$

2. L’ascissa di A è $\sqrt[3]2$ ; si dica a quale problema classico dell’antichità è legato tale numero e, mediante l’applicazione di un metodo iterativo di calcolo, se ne trovi il valore approssimato a meno di $10^{-2}$ .

Il numero dato si può porre in relazione al problema della duplicazione del cubo.
Questo è uno dei problemi classici e consiste nella costruzione del lato L di un cubo che abbia volume doppio di un altro cubo di lato l assegnato. In altre parole, dato il lato l di un cubo, si dovrà determinare il segmento L tale che:

$L^3=2⋅l^3.$

Infatti posto $l=1$ ottengo proprio il numero che è nella consegna del problema. Per fornire una stima di questo valore sfrutto la funzione $f$ :

$f(x)=x^3−2$

in quanto questa ammette come soluzione proprio il numero della consegna. $f$ è una funzione continua, $f'$ è sempre positiva e assume valore positivo se $x=2$ mentre valore negativo per $x=1$ . Tutto questo, per il teorema degli zeri, ci suggerisce la presenza di una (unica) radice nell’intervallo compreso tra 1 e 2 che trovo sfruttando il metodo di Newton.

$x_0=1$

$x_1=g(x_0)=1−\frac{1-2}{3\cdot 1} \simeq 1,33$

$x_2=g(x_1)=\frac 43−\frac {(\frac 43)^3−2}{3 \cdot (\frac 43)^2} \simeq 1,2639$

$x_3=g(x_2)=1,2639−\frac {(1,2639)^3−2}{3 \cdot (1,2639)^2} \simeq 1,2599$

Già al terzo passaggio si nota una precisione fino alla seconda cifra dopo la virgola, pertanto posso prendere 1,2599 come soluzione stando certo che l’errore della stima sarà minore di $10^{-2}$ .

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Problema 2.2 PNI 2010

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