Problema 2.2 PNI 2010

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Problema 2

 

Nel piano riferito ad un sistemaOxy di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: y^2=2x e x^2=y

 

2. L’ascissa di A è\sqrt[3]2; si dica a quale problema classico dell’antichità è legato tale numero e, mediante l’applicazione di un metodo iterativo di calcolo, se ne trovi il valore approssimato a meno di 10^{-2}.

 

Il numero dato si può porre in relazione al problema della duplicazione del cubo.
Questo è uno dei problemi classici e consiste nella costruzione del lato L di un cubo che abbia volume doppio di un altro cubo di lato l assegnato. In altre parole, dato il lato l di un cubo, si dovrà determinare il segmento L tale che:

    \[L^3=2⋅l^3.\]

Infatti posto l=1 ottengo proprio il numero che è nella consegna del problema. Per fornire una stima di questo valore sfrutto la funzione f:

    \[f(x)=x^3−2\]

in quanto questa ammette come soluzione proprio il numero della consegna. f è una funzione continua, f' è sempre positiva e assume valore positivo se x=2 mentre valore negativo per x=1. Tutto questo, per il teorema degli zeri, ci suggerisce la presenza di una (unica) radice nell’intervallo compreso tra 1 e 2 che trovo sfruttando il metodo di Newton.

    \[x_0=1\]

    \[x_1=g(x_0)=1−\frac{1-2}{3\cdot 1} \simeq 1,33\]

    \[x_2=g(x_1)=\frac 43−\frac {(\frac 43)^3−2}{3 \cdot (\frac 43)^2} \simeq 1,2639\]

    \[x_3=g(x_2)=1,2639−\frac {(1,2639)^3−2}{3 \cdot (1,2639)^2} \simeq 1,2599\]

Già al terzo passaggio si nota una precisione fino alla seconda cifra dopo la virgola, pertanto posso prendere 1,2599 come soluzione stando certo che l’errore della stima sarà minore di 10^{-2}.

 

 

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