Quesito 5 Scientifico 2010

Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 80 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio?

Sia $x$ l’angolo fra l’apotema e il raggio di base, si ha:

$h=80senx$

$r=80cosx$

con $0<x<\frac 12 \pi$ .

Il volume del cono è dato da:

$V(x)=\frac 13 S_b \cdot h=\frac 13 \pi \left(80cosx\right)^2 \cdot \left(80senx\right)=$

$=\frac {512000}{3}\pi cos^2xsenx=kcos^2xsenx=ksenx(1-sen^2x)$

Per trovare il volume massimo, deriviamo, considerando che $k=\frac {512000}{3}\pi$ è costante:

$V'(x)=k(cosx-3sen^2xcosx)=kcosx(1-3sen^2x)$

Troviamo il segno della derivata:

$k \geq 0 \quad \forall x$
$cosx \geq 0 \quad 0 \leq x \leq \frac 12 \pi \quad \lor \quad \frac 32 \pi \leq x \leq 2 \pi$
$1-3sen^2x \geq 0 \Rightarrow -\frac {\sqrt 3 }{3} \leq senx \leq \frac {\sqrt 3 }{3}$

In quest’ultima, visto il vincolo sulla $x$ consideriamo solo i risultati nel primo quadrante, così da ottenere:

$x=\alpha=arcsen \left(\frac {\sqrt 3 }{3}\right)$

Da qui, calcoliamo il $cosx=\frac {\sqrt 6 }{3}$ , e quindi, il volume massimo è dato da:

$V_{MAX}=\frac {512000}{3}\pi \left(\frac {\sqrt 6 }{3} \right)^2\frac {\sqrt 3 }{3}\simeq 206370 \mbox{ cm}^3\simeq 206,4 \mbox{ dm}^3.$

La capacità è di 206,4 litri circa.

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