Problema 1.4 P.N.I. 2012

Della funzione $f$ , definita per $0 \leq x \leq 6$ , si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata $f '(x)$ , disegnato a lato, presenta due tangenti orizzontali per $x = 2$ e $x = 4$ . Si sa anche che $f (0) = 9$ , $f (3) = 6$ e $f (5) = 3$ .

Sia $g$ la funzione definita da $g(x) = x f (x)$ . Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di $f$ e di $g$ nei rispettivi punti di ascissa $x = 3$ e si determini la misura, in gradi e primi sessagesimali, dell’angolo acuto che esse formano.

Sappiamo che il coefficiente angolare della retta tangente a t in $x=3$ è dato da $f'(3)=1$ .

Quindi, l’equazione della retta tangente s è:

$s: y-f(3)=f'(3)(x-3) \Rightarrow \begin{cases} f(3)=6 \\ f'(3)=1 \end {cases} \Rightarrow s:y=-x+9.$

Analogamente per $g(x)=xf(x)$ .

Usando la formula di derivazione del prodotto otteniamo:

$g'(x)=f(x)+xf'(x),$

quindi:

$g'(3)=f(3)+3f'(3)=6-3=3,$

e la retta tangente t è:

$t: y-g(3)=g'(3)(x-3) \Rightarrow \begin{cases} g(3)=18 \\ g'(3)=3 \end {cases} \Rightarrow t:y=3x+9.$

Sfruttando la relazione $m=tg(\theta)$ , troviamo gli angoli $\theta_1$ e $\theta_2$ e ricaviamo $\alpha$ come supplementare di $\beta=\theta_1-\theta_2$ .