Quesito 10 P.N.I. 2014

Si determinino per quali valori reali di a e b, si ha:

$\lim_{x \to 0} \frac {\sqrt{a+bx}-2}{x}=1$

Visto che $x \to 0$ , allora dobbiamo necessariamente ipotizzare che $a \geq 0$ , altrimenti la radice perde di significato.

Analizzando solo il numeratore, per $x=0$ , rimane solo $\sqrt a -2$ .

Quindi, per confrontare gli zeri, imponiamo $a=4$ , da cui:

$\lim_{x \to 0} \frac {\sqrt{4+bx}-2}{x}=\lim_{x \to 0} \frac {\sqrt{4+bx}-2}{x}\frac {\sqrt{4+bx}+2}{\sqrt{4+bx}+2}=$

$=\lim_{x \to 0} \frac {4+bx-4}{x(\sqrt{4+bx}+2)}=\lim_{x \to 0} \frac {b}{(\sqrt{4+bx}+2)}$

Imponiamo l’uguaglianza richiesta dalla traccia e ricaviamo b:

$\lim_{x \to 0} \frac {b}{(\sqrt{4+bx}+2)}=1$

$\frac {b}{4}=1$

$b=4$

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