Erika scrive: Esercizio principio di induzione

Oggetto: SOLUZIONE

Corpo del messaggio:
ciao domani ho l’esame… potrest dirmi gentilmente come si risoove questo principio di induzione’ 2^n maggiore n^2 con ( n maggiore e uguale 4) e poi n^n maggiore e uguale di n! ti ringrazio e urgente!

Svolgimento

$2^n > n^2 \quad \mbox { con } \quad n \geq 4$ .

Verifichiamo per 4:

$2^4>4^2 \Rightarrow 16>16$ …

Quindi suppongo che nella traccia manchi qualcosa… (o un maggiore uguale nella formula iniziale oppure n non può essere maggiore uguale a 4…)

Cmq, andando avanti, ipotizzando che sia verificato per n, analizziamo il caso n+1…

$2^{n+1}>(n+1)^2$

$2 \cdot 2^n>n^2+2n+1$

Se abbiamo accettato l’ipotesi sapremo che:

$2 \cdot 2^n > 2 \cdot n^2$ .

Verifichiamo quindi che:

$2n^2 > n^2+2n+1$

$n^2>2n+1$

$n^2-2n-1>0$ .

Con un piccolo artificio possiamo afferamre che:

$(n-1)^2-2>0$

$(n-1)^2>2$ ;

e questa disequazione è verificata per qualsiasi n numero naturale maggiore a 3… CVD

$n^n \geq n!$

Supposto vero per n, verifichiamo per n+1:

$(n+1)^{n+1} \geq (n+1)!$

$(n+1)(n+1)(n+1) \cdots (n+1) \geq (n+1) n!$

Essendo di sicuro $n+1$ positivo, avremo che:

$(n+1)^2 \geq n!$

Di sicuro sappiamo che:

$(n+1)^n > n^n$

per qualsiasi n numero intero naturale e quindi, sapendo per ipotesi che:

$n^n \geq n!$ , avremo che:

$(n+1)^n \geq n!$

CVD.

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Matebook

La matematica spiegata passo passo

Erika scrive: Esercizio principio di induzione

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