Quesito 9 P.N.I. 2013

Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta.

Di base sappiamo che:

Q=\{ \mbox {insieme numeri razionali} \}

I=\{ \mbox {insieme numeri irrazionali} \}.

R=Q \cup I.

Anche se da qui sembra immediato, vediamo come sia possibile “contare” i razionali, e come non sia possibile farlo per gli irrazionali…

Ipotizziamo di avere questa tabella

 

1        2        3

1   \frac 11    \frac 21   \frac 31

2   \frac 12   \frac 22  \frac 32

3   \frac 13   \frac 23  \frac 33

Ordinando i numeri secondo le diagonali, posso contare i numeri di Q all’infinito.

 

Consideriamo ora gli irrazionali tra zero e 1, e supponiamo per assurdo di poterli ordinare tutti, scrivendoli così:

  • 0, c_{11} c_{12} c_{13} ...
  • 0, c_{21} c_{22} c_{23} ...
  • 0, c_{31} c_{32} c_{33} ..., e via dicendo…

dove le cifre c_{ij} \in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}.

Però, se consideriamo il numero irrazionale tra 0 e 1 che non ha come prima cifra decimale la cifra c_{11},  come seconda cifra decimale la cifra c_{22} e via discorrendo, ho trovato un numero che non avevo contato nell’elenco. Questo è un assurdo dovuto all’aver supposto di poterli contare tutti.

Di conseguenza Luisa ha ragione!!!

 

 

 

 

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