Leandro scrive: Circonferenza

Pubblicato il 16 Aprile 2014 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Circonferenza

Corpo del messaggio:

Risposta dello staff

1)

Risolviamo il sistema per cercare le coordinate dei punti ed otteniamo:

$x^2+(-2x+k)^2-x+(-2x+k)-2=0$

$x^2+4x^2-4kx+k^2-x-2x+k-2=0$

$5x^2-x(4k+3)+k^2+k-2=0$

$x_{\frac 12}= \frac {4k+3 \pm \sqrt {16k^2+24k+9-20k^2-20k+40}}{10}=\frac {4k+3 \pm \sqrt {-4k^2+4k+49}}{10}$

Trovate le coordinate dei punti di intersezione:

$A\left(\frac {4k+3 - \sqrt {-4k^2+4k+49}}{10};\frac {k-3 + \sqrt {-4k^2+4k+49}}{5}\right)$

$B\left(\frac {4k+3 + \sqrt {-4k^2+4k+49}}{10};\frac {k-3 - \sqrt {-4k^2+4k+49}}{5}\right)$

Per evitare confusione nei calcoli facciamo a parte due passaggi:

$x_A-x_B=-\frac 15 \sqrt {-4k^2+4k+49}$

$y_A-y_B=\frac 25 \sqrt {-4k^2+4k+49}$

Quindi avremo che:

$AB=\sqrt{\frac {1}{25} (-4k^2+4k+49)+\frac {4}{25} (-4k^2+4k+49)}=\sqrt 5$

$\frac {1}{5} (-4k^2+4k+49)= 5$

$-4k^2+4k+49-25=0$

$4k^2-4k-24=0$

$k^2-k-6=0$

$(k-3)(k+2)=0$

Da cui avremo le due soluzioni:

$k=3 \quad \lor \quad k=-2$ .

2)

Il centro della circonferenza sarà:

$C(-1;2)$

Ricaviamo due generiche rette che passano per P:

$-2=2m+q$

$q=-2-2m$

Quindi una generica retta che passa per P avrà equazione:

$y=mx-2-2m$ o anche

$mx-y-2-2m=0$

Ricaviamo la distanza punto retta e imponiamo che la distanza sia $2\sqrt 5$ :

$2\sqrt 5=\frac{\left| -m-2-2-2m\right|}{\sqrt{m^2+1}}$

$20=\frac{(-4-3m)^2}{m^2+1}$

$20m^2+20=16+24m+9m^2$

$11m^2-24m+4=0$

$m_{\frac 12}= \frac {24 \pm \sqrt {576-176}}{22}=\frac {24 \pm 20}{22}=\frac {12 \pm 10}{11}$

$m_1=\frac {2}{11}$ da cui la retta sarà:

$y=\frac {2}{11}x-\frac {26}{11}$

$m_2=2$ da cui la retta sarà:

$y=2x-6$

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