Leandro scrive: Circonferenza

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Oggetto: Circonferenza

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Risposta dello staff

1)

Risolviamo il sistema per cercare le coordinate dei punti ed otteniamo:

x^2+(-2x+k)^2-x+(-2x+k)-2=0

x^2+4x^2-4kx+k^2-x-2x+k-2=0

5x^2-x(4k+3)+k^2+k-2=0

x_{\frac 12}= \frac {4k+3 \pm \sqrt {16k^2+24k+9-20k^2-20k+40}}{10}=\frac {4k+3 \pm \sqrt {-4k^2+4k+49}}{10}

Trovate le coordinate dei punti di intersezione:

A\left(\frac {4k+3 - \sqrt {-4k^2+4k+49}}{10};\frac {k-3 + \sqrt {-4k^2+4k+49}}{5}\right)

B\left(\frac {4k+3 + \sqrt {-4k^2+4k+49}}{10};\frac {k-3 - \sqrt {-4k^2+4k+49}}{5}\right)

Per evitare confusione nei calcoli facciamo a parte due passaggi:

x_A-x_B=-\frac 15 \sqrt {-4k^2+4k+49}

y_A-y_B=\frac 25 \sqrt {-4k^2+4k+49}

Quindi avremo che:

AB=\sqrt{\frac {1}{25} (-4k^2+4k+49)+\frac {4}{25} (-4k^2+4k+49)}=\sqrt 5

\frac {1}{5} (-4k^2+4k+49)= 5

-4k^2+4k+49-25=0

4k^2-4k-24=0

k^2-k-6=0

(k-3)(k+2)=0

Da cui avremo le due soluzioni:

k=3 \quad \lor \quad k=-2.

2)

Il centro della circonferenza sarà:

C(-1;2)

Ricaviamo due generiche rette che passano per P:

-2=2m+q

q=-2-2m

Quindi una generica retta che passa per P avrà equazione:

y=mx-2-2m o anche

mx-y-2-2m=0

Ricaviamo la distanza punto retta e imponiamo che la distanza sia 2\sqrt 5:

2\sqrt 5=\frac{\left| -m-2-2-2m\right|}{\sqrt{m^2+1}}

20=\frac{(-4-3m)^2}{m^2+1}

20m^2+20=16+24m+9m^2

11m^2-24m+4=0

m_{\frac 12}= \frac {24 \pm \sqrt {576-176}}{22}=\frac {24 \pm 20}{22}=\frac {12 \pm 10}{11}

m_1=\frac {2}{11} da cui la retta sarà:

y=\frac {2}{11}x-\frac {26}{11}

m_2=2 da cui la retta sarà:

y=2x-6

 

 

 

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