Ellisse

L’ellisse è il luogo geometrico dei punti $P(x;y)$ del piano per i quali la somma delle loro distanze da due punti fissi $F_1$ , $F_2$ , detti fuochi, si mantiene costante (tale valore rappresenta la lunghezza dell’asse maggiore).

Per l’ellisse con centro nell’origine $O(0;0)$ e assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani si distinguono due casi.

$a,b,c \in R^+$	$a>b$ $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$	$b>a$ $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2b$
equazione canonica	$\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1$	$\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1$
coordinate vertici	$A_1(-a;0),$ $A_2(a;0), B_1(0;-b),$ $B_2(0;b)$	$A_1(-a;0),$ $A_2(a;0), B_1(0;-b),$ $B_2(0;b)$
coordinate fuochi	$F_1(-c;0), F_2(c;0)$	$F_1(0;-c), F_2(0;c)$
relazione tra i parametri	$a^2-b^2=c^2$	$b^2-a^2=c^2$
lunghezza asse maggiore	$\overline {A_1A_2}=2a$	$\overline {B_1B_2}=2b$
distanza focale	$\overline{F_1F_2}=2c$	$\overline{F_1F_2}=2c$
eccentricità $e$ , $0\leq e <1$	$e=\frac c a =\frac {\sqrt {a^2-b^2}}{a}$	$e=\frac c b =\frac {\sqrt {b^2-a^2}}{b}$

Caso particolare: se $a=b$ l’ellisse è una circonferenza di equazione $x^2+y^2=a^2$ , con centro $C=O(0;0)$ , raggio $r=a$ ed eccentricità $e=0$ .

L’ellisse è detta traslata se ha centro in un punto $C(x_C;y_C)$ , $x_C\neq 0$ o $y_C \neq 0$ , e assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani, di equazioni $x=x_C$ e $y=y_C$ . La sua equazione è: