Punto retta

La distanza tra due punti $A(x_A;y_A)$ e $B(x_B;y_B)$ è data dalla relazione

$d(A;B)=\overline{AB}=\sqrt {(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ .

Nel caso in cui i due punti abbiano la stessa ascissa o la stessa ordinata la loro distanza è data da:

$d(A;B)=\overline{AB}=|y_B-y_A|$ se $x_A=x_B$ ;

$d(A;B)=\overline{AB}=|x_B-x_A|$ se $y_A=y_B$ .

Il punto medio $M$ di un segmento $AB$ di estremi $A(x_A;y_A)$ e $B(x_B;y_B)$ ha coordinate:

$x_M=\frac {x_A+x_B}{2}, y_M=\frac {y_A+y_B}{2}$ .

L’equazione di una retta si può presentare in:

forma implicita $ax+by+c=0$ con $a,b,c \in R$ .
forma esplicita $y=mx+q$ con $m=-\frac a b$ , $q=-\frac c b$ e $b\neq 0$ ,

dove $m$ è il coefficiente angolare e $q$ il termine noto o ordinata all’origine.

Tra le rette particolari ricordiamo:

asse $x$ : $y=0$ ; asse $y$ : $x=0$ ;
parallela all’asse $x$ : $y=k (k\inR)$ ; parallela all’asse $y$ : $x=h (h\in R)$ ;
bisettrice I-III quadrante $y=x$ ; bisettrice II-IV quadrante $y=-x$ .

La retta di coefficiente angolare $m$ e passante per il punto $P(x_1;y_1)$ ha equazione:

$y-y_1=m(x-x_1)$ .

In particolare, la retta passante per l’origine $O(0;0)$ è:

$y=mx$ .

L’insieme di rette $y-y_1=m(x-x_1)$ prende anche il nome di fascio di rette di centro o sostegno $P$ .

La retta passante per i punti $P(x_1;y_1)$ e $Q(x_2;y_2)$ con $x_1\neq x_2$ e $y_1\neq y_2$ , ha equazione

$\frac {y-y_1}{y_2-y_1}=\frac {x-x_1}{x_2-x_1}$ o anche $y-y_1=\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

con

$m=\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac {\Delta y}{\Delta x}$ .

Nel caso in cui i due punti abbiano la stessa ascissa $x_1$ o la stessa ordinata $y_1$ , la retta da essi individuata ha equazione:

$x=x_1$ oppure $y=y_1$ .

Due rette $r$ ed $s$ , non parallele all’asse $y$ , e rispettivamente di coefficiente angolare $m$ e $m'$ sono tra loro:

parallele se e solo se $m=m'$
perpendicolari se e solo se $mm'=-1$ o $m=-\frac{1}{m'}$ .

La distanza del punto $P(x_0;y_0)$ dalla retta $r$ di equazione $ax+by+c=0 [y=mx+q]$ è data dalle formule:

$d(P;r)=\frac {|ax_0+by_0+c|}{\sqrt {a^2+b^2}}$ [ $d(P;r)=\frac {|y_0-mx_0-q|}{\sqrt {1-m^2}}$ .

Se i punti $A(x_A;y_A)$ , $B(x_B;y_B)$ e $C(x_C;y_C)$ non sono allineati (per verificarlo basta determinare l’equazione della retta passante per due di essi e constatare che il terzo punto non le appartiene, cioè le sue coordinate non soddisfano l’equazione), l’area del triangolo $ABC$ è data dal seguente valore assoluto del determinante

$A(ABC)=\frac 1 2 |det \begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}|$ .

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