Rette tangenti ad una conica

Per determinare le equazioni delle rette tangenti a una conica condotte da un punto $P(x_0;y_0)$ ( $P$ esterno caso 1, $P$ appartenente alla conica caso 2) si possono applicare i seguenti procedimenti:.

1° metodo: si scrive l’equazione del fascio proprio $f$ di rette con sostegno nel punto $P(x_0;y_0)$ , $y-y_0=m(x-x_0)$ , si considera il sistema formato dalle equazioni del fascio $f$ e della conica; ad esempio, per la circonferenza

$\bigg \{\begin{array}{rl} y-y_0=m(x-x_0) \\ x^2+y^2+ax+by+c=0 \\ \end{array}$

si ricava l’equazione di 2° grado risolvente il sistema e si impone la condizione di tangenza, affinchè le due soluzioni siano coincidenti, ovvero

$\Delta = 0$ .

Se il punto $P$ è esterno, si ottengono due valori distinti di $m$ m che, sostituiti nell’equazione del fascio di rette, consentono di determinare le equazioni delle due rette tangenti (se il punto $P$ ha la stessa ascissa di un estremo del diametro della circonferenza parallelo all’asse $x$ oppure ha la stessa ascissa di un vertice dell’ellisse o dell’iperbole appartenente all’asse $x$ , si ricava un solo valore di $m$ , poichè l’altro tende all’infinito). Nel caso dell’iperbole, se il punto $P$ appartiene ad un suo asintoto, una delle tangenti coincide con l’asintoto stesso, che può quindi essere interpretato come retta tangente all’iperbole in un punto all’infinito.

Se il punto $P$ appartiene alla conica, si ottiene un solo valore di $m$ (due valori coincidenti) che, sostituito nell’equazione del fascio $f$ , consente di determinare l’equazione della retta tangente.

2° metodo: se il punto $P(x_0;y_0)$ appartiene alla conica si può determinare facilmente l’equazione della retta tangente applicando la formula degli sdoppiamenti:

$xx_0 + yy_0+a(\frac {x+x_0}{2})+b(\frac {y+y_0}{2})+c=0$ per la circonferenza,

$\frac {y+y_0}{2}=axx_0+b\frac {x+x_0}{2}+c [\frac {x+x_0}{2}=ayy_0+b\frac {y+y_0}{2}+c]$ per la parabola,

$\frac {xx_0}{a^2} + \frac {yy_0}{b^2}=1$ per l’ellisse,

$\frac {xx_0}{a^2} - \frac {yy_0}{b^2}= 1 [\frac {xx_0}{a^2} - \frac {yy_0}{b^2}= -1]$ per l’iperbole.

3° metodo (solo per la circonferenza): si scrive l’equazione del fascio proprio $f$ di rette con sostegno nel punto $P(x_0;y_0)$ , $y-y_0=m(x-x_0)$ e si impone che la distanza tra la generica retta del fascio e il centro $C(x_C;y_C)$ della circonferenza sia uguale al raggio $d(f;C)=r$ , ovvero

$\frac {|mx_C-y_C-mx_0+y_0|}{\sqrt {mì2+1}}=r$ .

Si determinano i valori di $m$ e le equazioni delle rette tangenti come nei casi precedenti (se il punto $P$ appartiene alla circonferenza si ricaverà un solo valore di $m$ ).

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