Problema 1.2 P.N.I. 2014

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Sia g(x) una funzione continua sull’intervallo chiuso [-4;6]. Il grafico di g(x), disegnato a lato, passa per i punti A(-4;0), O(0;0), B(2;2), C(4;2),D(6;0) e consiste della semicirconferenza di diametro AO, dell’arco, quarto di circonferenza, di estremi O e B, del segmento BC e dell’arco CD di una parabola avente per asse di simmetria l’asse x .

graficopni

Posto f(x)=\int_{-4}^x g(t) \,dt, si calcolino:
f(-4),f(0),f(1),f(2),f(4),f(6).

Risposta dello staff

Alcune aree si ricavano facilmente dal grafico:

f(-4)=0 per proprietà degli integrali.

f(0)=-2\pi in quanto è  l’area di un semicerchio; risulta negativo perchè si trova nel semipiano negativo dell’asse delle y.

f(1)=-2\pi + \int_0^1 g(t) \. dt, lo calcoliamo dopo…

f(2)=-2\pi+\pi=-\pi in quanto da 0 a 2 abbiamo un quarto di cerchio.

f(4)=4-\pi come sopra, a cui viene sommato un quadrato di lato 2.

f(6)=4-\pi + \int_4^6 g(t) \, dt

Analizziamo f(1), e consideriamo l’area sottesa.

    \[\int_0^1 \sqrt{-x^2+4x} \, dx\]

Effettuiamo la sostituzione

t=x-2

dt=dx

t^2=x^2-4x+4

-x^2+4x=4-t^2

L’integrale diventa quindi:

    \[\int_{-2}^{-1} \sqrt{4-t^2} \, dt\]

Integrando per parti otteniamo:

    \[t\sqrt{4-t^2} -\int \frac {-2t^2}{2\sqrt{4-t^2}} \, dt=t\sqrt{4-t^2} -\int \frac {-t^2}{\sqrt{4-t^2}} \, dt=\]

Aggiungendo e sottraendo 4 otteniamo:

    \[\int \sqrt{4-t^2} \, dx=t\sqrt{4-t^2} +\int \frac {t^2-4}{\sqrt{4-t^2}} \, dx+\int \frac {4}{\sqrt{4-t^2}} \, dx\]

    \[2\int \sqrt{4-t^2} \, dx=t\sqrt{4-t^2} +4\int \frac {1}{2\sqrt{1-\frac {t^2}{4}}} \, dx\]

    \[\int \sqrt{4-t^2} \, dx=\frac 12 \left(t\sqrt{4-t^2} +4arcsen \left(\frac {t}{2}\right)\right)+C\]

Quindi, calcolando l’integrale abbiamo

    \[\int_{-2}^{-1} \sqrt{4-t^2} \, dx=\left[\frac 12 \left(t\sqrt{4-t^2} +4arcsen \left(\frac {t}{2}\right)\right]_{-2}^{-1}=\]

    \[=\left[\frac 12 \left(-\sqrt{3} +4arcsen \left(\frac {1}{2}\right)\right]=-\frac {\sqrt 3}{2}+\frac 23 \pi\]

Quindi possiamo finalmente calcolare:

f(1)=-2\pi+\frac 23 \pi - \frac {\sqrt 3}{2}=-\frac 43 \pi - \frac {\sqrt 3}{2}

Per quanto riguarda invece l’integrale per calcolare f(6), avremo meno difficoltà con la sostituzione:

t^2=12-2x

2t \, dt=-2 dx

dx=-t \,dt

Avremo quindi:

    \[-\int_0^2 -t^2 \, dt=\left[\frac {t^3}{3}\right]_0^2=\frac 83\]

Quindi otteniamo:

f(6)=4-\pi+\frac 83=\frac {20}{3}-\pi

 

 

 

 

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