Problema 1.4 P.N.I. 2014

Sia $g(x)$ una funzione continua sull’intervallo chiuso $[-4;6]$ . Il grafico di $g(x)$ , disegnato a lato, passa per i punti A(-4;0), O(0;0), B(2;2), C(4;2),D(6;0) e consiste della semicirconferenza di diametro AO, dell’arco, quarto di circonferenza, di estremi O e B, del segmento BC e dell’arco CD di una parabola avente per asse di simmetria l’asse x .

La funzione $f(x)$ presenta un massimo e un minimo assoluti? Qual è l’andamento di $f(x)$ ?

Risposta dello staff

Per costruzione sappiamo che:

$f$ è crescente se $f'(x)=g(x)>0 \iff 0<x<6$

$f$ è decrescente se $f'(x)=g(x)<0 \iff -4<x<0$

Siccome f è continua nell’intervallo chiuso $[-4;6]$ , questa avrà un minimo relativo, ed assoluto, per $x=0$ , che vale $f(0)=-2\pi$ .

In $x=-4$ la funzione vale 0, come in $x=a=2+ \frac {\pi}{2}$

in $x=6$ la funzione vale $f(6)=\frac {20}{3}-\pi$ che sarà quindi il massimo assoluto.

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