Esercizio 18 Problemi su triangoli e poligoni simili

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Traccia

E’ dato un triangolo isoscele ABC il cui lato AB è di 150 cm ed è i 5/6 della base BC. Si conduca l’altezza BK relativa al lato AC e si consideri su AB il punto M tale che sia BM=1/4 AM. Si tracci poi da M la parallela a BK che incontri AC nel punto N. Determinare il perimetro del triangolo AMN.

Svolgimento

triangolo isoscele con altezze

Ricaviamo subito la base:

BC=\frac 65 AB=180 \mbox { cm}

Ricaviamo ora anche i due segmenti in cui è diviso AB, sapendo che:

AB=AM+BM=AM+\frac 14 AM=\frac 54AM

da cui:

AM=\frac 45 AB=120 \mbox { cm}

BM=AB-AM=30 \mbox { cm}.

Per calcolare BK, ci serve prima calcolare l’altezza del triangolo ABC, con il teorema di Pitagora e poi utilizzare la formula inversa dell’area.

AH=\sqrt {AB^2-(\frac 12 BC)^2}=\sqrt {22500-8100} \mbox{ cm}=\sqrt {14400} \mbox{ cm}=120\mbox{ cm}

Quindi, sapendo che:

A_{ABC}=\frac {BC \cdot AH}{2}=\frac {AC \cdot BK}{2}

da cui:

BK=\frac {BC \cdot AH}{AC}=\frac {180 \cdot 120}{150}\mbox{ cm}=144 \mbox{ cm}

 

I triangoli KBA e NMA sono simili, quindi ricaviamo MN con le proporzioni:

MN:KB=AM:AB

MN=\frac{AM \cdot KB}{AB}=\frac {120 \cdot 144}{150} \mbox { cm}=115,2 \mbox { cm}

Ricaviamo AN con il teorema di Pitagora:

AN=\sqrt {AM^2-MN^2}=\sqrt {14400-13271,04}\mbox { cm}=\sqrt {1128,96}\mbox { cm}=33,6\mbox { cm}

2p_{AMN}=AN+MN+AM=(33,6+115,2+120)\mbox { cm}=268,8 \mbox { cm}


 

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