Intervalli ed intorni

Il concetto di intervalli ed intorni è fondamentale per l’analisi. Bisogna però distinguere il loro significato in base al punto di vista con il quale guardiamo questi due “oggetti”: se da un punto di vista esterno prendiamo in considerazione l’intervallo, dal punto di vista del punto considereremo l’intorno.

  • INTERVALLO

Definiamo intervallo sulla retta R l’insieme di tutti i punti compresi tra due valori dati: se prendiamo come esempio l’intervallo (0;1), questo rappresenta l’insieme di tutti i numeri compresi tra 0 e 1.

Se gli estremi appartengono all’intervallo (ovvero, se possiamo prendere in considerazione anche 0 e 1) questo si dice chiuso.

Simbolicamente avremo:

I_{[0,1]}=[0;1]=\{ x \in R \, \, | \, \,  0 \leq x \leq 1 \}

Se gli estremi non appartengono all’intervallo, questo si dice aperto.

Simbolicamente avremo:

I_{(0,1)}=(0;1)=\{ x \in R \, \, | \, \,  0 < x < 1 \}

Se appartiene l’estremo di sinistra e non quello di destra, sarà semiaperto a destra.

Simbolicamente avremo:

I_{[0,1)}=[0;1)=\{ x \in R \, \, | \, \,  0 \leq x < 1 \}

Se appartiene l’estremo di destra e non quello di sinistra, sarà semiaperto a sinistra.

Simbolicamente avremo:

I_{(0,1]}=(0;1]=\{ x \in R \, \, | \, \,  0 < x \leq 1 \}

Consideriamo adesso l’intervallo [0;2]. In questo intervallo possiamo dire, riferendoci al punto 1, che [0;2] sarà un intorno chiuso di 1.

Da qui possiamo subito dire che l’intervallo sarà un intorno destro di 0 e un intorno sinistro di 2.

Nello stesso modo degli intervalli si potrà parlare di intorni semiaperti ed aperti.

  • PUNTO DI ACCUMULAZIONE

Un punto si dice di accumulazione per un insieme di punti se qualunque suo intorno contiente sempre almeno un punto dell’insieme diverso dal nostro punto.

Questo significa che, potendo prendere infiniti intervalli sempre più piccoli, l’insieme conterrà infiniti punti.

Diremo che:

se un insieme infinito di punti è limitato allora ammette sempre un punto di accumulazione.

  • PUNTO FRONTIERA

Un punto si definisce di frontiera se questo appartiene al bordo dell’insieme. Bisogna osservare che, ovviamente, non sempre un punto frontiera apparterrà all’insieme.

Esempi:

[0;1] in questo intervallo 0 è punto di frontiera che appartiene all’insieme.

(0;1) in questo intervallo, 0 è punto di frontiera che non appartiene all’insieme.

 

  • PUNTO ADERENTE

Un punto si dice aderente (o di aderenza) ad un insieme se questo o fa parte dell’insieme o è di accumulazione per l’insieme stesso.

 

Esempio:

 

Nell’intervallo (0;1) sia 0 che 1 sono punti di aderenza, insieme a tutti i punti dell’intervallo stesso. Quindi l’insieme dei punti di aderenza è [0;1].

 

In poche parole per avere tutti i punti di aderenza di un insieme, basta includere (a meno che non sia già chiuso) gli estremi dell’intervallo stesso.

 

 

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