Esercizio 1 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

In un triangolo rettangolo il cateto minore è 90 cm, la sua proiezione sull’ipotenusa è 9/25 della stessa ipotenusa. Determinare il perimetro e l’area del triangolo. Indicare con x la misura dell’ipotenusa.

 

Svolgimento

 

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggero l’esercizio. Supponiamo che ABC sia il triangolo rettangolo, retto in A, ed AH sia l’altezza relativa all’ipotenusa x

AC = \mbox { cateto minore }

AB = \mbox { cateto maggiore }

Dai dati avremo anche che:

CH= \frac {9}{25} BC

BH= BC- \frac {9}{25} BC=\frac {16}{25} BC

Per il primo teorema di Euclide sappiamo che in un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito su un cateto è uguale all’area del rettangolo avente come base la proiezione del cateto sull’ipotenusa e come altezza l’ipotenusa stessa. Quindi avremo:

AC^2 = \frac {9}{25} x \cdot x

90^2 = \frac {9}{25} x^2

x^2 = 8100 * \frac {25}{9} = 22500 \mbox { cm} ^2

x = 150 \mbox { cm }

Una volta trovata l’ipotenusa, possiamo trovare il resto dei dati utili per risolvere il problema.

HB = \frac {16}{25} \cdot 150 \mbox { cm } = 96 \mbox { cm }

AB^2 = 96 \cdot 150 \mbox { cm }^2 = 1440 \mbox { cm}^2

AB = 120 \mbox { cm }

2p = (150 + 120 + 90) \mbox { cm } = 360 \mbox { cm }

A = \frac {120 \cdot 90}{2} = 5400 \mbox { cm}^2

 

 

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