Esercizio 13 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è di 6 cm e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa differiscono di 6\sqrt5 cm. Determinare l’area del triangolo.

 

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio. Supponiamo il triangolo sia retto in A, e quindi sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa BC.

Poniamo BH=x e avremo:

AH=6 \mbox { cm}

CH=x+6\sqrt 5\mbox { cm}

Ora, sfruttando il secondo teorema di Euclide, ricaviamo subito il valore dell’incognita:

BH \cdot CH= AH^2

x(x+6\sqrt 5)=36

x^2+6x\sqrt5-36=0

Risolviamo l’equazione di secondo grado:

x_{\frac 12}=\frac {-6\sqrt 5 \pm \sqrt {180+144}}{2}=\frac {-6\sqrt 5 \pm \sqrt {324}}{2}=\frac {-6\sqrt 5 \pm 18}{2}=-3\sqrt 5 \pm 9

x_1= (-3\sqrt 5 -9) \mbox { cm}

x_2= (9-3\sqrt 5)  \mbox { cm}.

Ovviamente la prima soluzione non è accettabile in quanto un lato non può avere misura negativa. Quindi:

BH=(9-3\sqrt 5) \mbox { cm}

CH= (9+3\sqrt 5) \mbox { cm}.

L’ipotenusa quindi sarà:

BC=BH+CH=18 \mbox { cm}

L’area sarà immediatamente calcolabile:

A=\frac {BC \cdot AH}{2}= \frac {18 \cdot 6}{2}\mbox { cm}^2=54 \mbox { cm}^2.

 

 

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