Esercizio 21 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

Determinare la misura del perimetro del trapezio isoscele ABCD inscritto in una semicirconferenza di diametro AB, sapendo che la misura della diagonale AC è 24a e che, detta HB la proiezione del lato BC sulla base maggiore AB, è HB=50/13 a. (Posto AB=x, con x>24a, l’equazione risolvente si trova subito applicando il 1° teorema di Euclide al triangolo ABC; si otterrà l’equazione 13x^2-50ax-7488a^2=0 di cui è accettabile solo una soluzione…)

Svolgimento

Semicirconferenza

 

Dati

AC=24a

HB=\frac {50}{13}a

Poniamo AB=x,

AH=x-\frac {50}{13}a

Applicando Euclide abbiamo che

AH \cdot AB=AC^2

(x-\frac {50}{13}a) \cdot x =(24a)^2

x^2-\frac {50}{13}ax-576a^2=0

13x^2 - 50 ax  - 7488 a^2 = 0

Le cui soluzioni sono:

x_{\frac 1 2}=\frac{50a \pm \sqrt{2500 + 7488 \cdot 4 \cdot 13}a }{26} =\frac{50a \pm \sqrt{ 391876}a }{26} =\frac{50a \pm 626 a}{26}=\frac {25 \pm 313}{13}

Eliminando la soluzione negativa otteniamo

x=\frac {338}{13}a

da cui

AH=\frac {288}{13}a

 

Possiamo calcolari i lati obliqui applicando Euclide al triangolo ABC retto in C

BC^2=AB \cdot BH

BC= \sqrt {\frac {338}{13}a \cdot \frac {50}{13}a}=\sqrt {\frac {16900}{169}a^2}=\sqrt{100a^2}=10a

La base minore del trapezio è pari a

DC=AB-2HB = \frac {338}{13}a-2\frac{50}{13}a=\frac {238}{13}a

Il perimetro quindi è pari a

2p=\frac {338}{13}a+\frac {238}{13}a+2 \cdot 10 a=\frac {338+238+260}{13}a=\frac {836}{13}a

 

 

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