Esercizio 7 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

Il triangolo ABC è rettangolo in C e l’altezza CH relativa all’ipotenusa è lunga 24 cm e divide l’ipotenusa stessa in parti AH e HB tali che AH=9/16 HB. Determinare perimetro e area del triangolo.

 

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio.

Ponendo HB=x, otteniamo facilmente dai dati:

AH=\frac {9}{16}x

AB=AH+HB=x+\frac {9}{16}x=\frac {25}{16}x

Usando il secondo teorema di Euclide otteniamo subito il valore dell’incognita:

AH^2=AH \cdot HB

576 \mbox { cm}^2=x \cdot \frac {9}{16}x

\frac {9}{16}x^2= 576 \mbox { cm}^2

x^2= \frac {16}{9} \cdot 576 \mbox { cm}^2

x= \frac {16}{9} \cdot 576 \mbox { cm}=32 \mbox { cm}

Quindi avremo:

HB=32 \mbox { cm}

AH= 18 \mbox { cm}

AB=50 \mbox { cm}

Troviamo i due lati con il primo teorema di Euclide:

AC^2=AH\cdot AB

AC^2= 18 \cdot 50 \mbox { cm}^2

AC=30 \mbox { cm}

e

BC^2=BH\cdot AB

BC^2= 32 \cdot 50 \mbox { cm}^2

BC=40 \mbox { cm}

Ora che abbiam tutto, calcoliamo perimetro e area:

2p=(30+40+50) \mbox { cm}

A= \frac {CH \cdot AB}{2}=\frac {24 \cdot 50}{2}\mbox { cm}^2=600 \mbox { cm}^2

 

 

 

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