Esercizio 4 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

In un triangolo rettangolo un cateto è 4/5 dell’ipotenusa e il perimetro è di 96 cm. Determinare l’ipotenusa e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

 

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio. Supponiamo che ABC sia il triangolo rettangolo, retto in A, ed AH sia l’altezza relativa all’ipotenusa.

Imponendo BC=x, dai dati avremo che:

AB= \frac 45 x

2p=96 \mbox { cm}.

Ricaviamo il secondo cateto con il teorema di Pitagora:

AC^2=BC^2-AB^2

AC^2=x^2- \frac {16}{25}x^2

AC^2=\frac {9}{25}x^2

AC=\frac 35 x

Sfruttiamo la conoscenza del perimetro per trovare l’incognita:

AB+AC+BC=96 \mbox { cm}

\frac 45 x + \frac 35 x + x = 96 \mbox { cm}

\frac {12}{5}x= 96 \mbox { cm}

x=40 \mbox { cm}.

Abbiamo le tre dimensioni:

AB=32 \mbox { cm}

AC= 24 \mbox { cm}

BC= 40 \mbox { cm}.

Sfruttiamo il teorema di Euclide per trovare le proiezioni:

BH=\frac {AB^2}{AC}

BH=\frac {32^2}{40} \mbox { cm} = \frac {1024}{40} \mbox { cm} = 25,6 \mbox { cm}

Quindi troveremo

CH=(40-25,6) \mbox { cm} = 14,4 \mbox { cm}

 

 

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