Esercizio 19 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

Nel triangolo rettangolo ABC la proiezione HB del cateto AB sull’ipotenusa BC misura 4a. Sapendo che 2HC-.AB=HB, si determini la misura del perimetro del triangolo ABC. ( se si pone AB=x, si trova l’equazione x^2-2ax-24a^2=0…)

 

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio.

Poniamo, come da suggerimento, AB=x.

Avremo:

HB=4a

HC=\frac 12 (4a+x).

BC=4a+2a+\frac 12x=6a+\frac 12x

Usiamo il primo teorema di Euclide per trovare il valore dell’incognita:

AB^2=BH \cdot BC

x^2=4a(6a+\frac 12x)

x^2=24a^2+2ax

x^2-2ax-24a^2=0

Risolviamo l’equazione di secondo grado:

x_{\frac 12}= \frac {2a \pm \sqrt {4a^2+96a^2}}{2}=\frac {2a \pm \sqrt {100a^2}}{2}=\frac {2a \pm 10a}{2}=a \pm 5a

x_1=-4a

x_2=6a

Da qui notiamo che la prima soluzione non è accettabile in quanto una misura di un lato non può essere negativa.

Quindi avremo:

AB=6a

BC=9a

HC=5a

Troviamo il secondo cateto con Euclide:

AC^2= CH \cdot CB

AC= \sqrt {5a \cdot 9a}=\sqrt {45a^2}=3a\sqrt 5.

Il perimetro sarà:

2p=6a+9a+3a\sqrt5=15a+3a\sqrt5=3a(5+\sqrt5).

 

 

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