Esercizio 3 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

Nel triangolo isoscele ABC la base BC è lunga 120 cm e la proiezione BD della metà base BH sul lato AB è i 9/25 dello stesso lato AB. Calcolare il perimetro e l’area del triangolo. Porre AB=x.

 

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio.

Imponendo AB=x, dai dati avremo che:

BC = 120 \mbox { cm }

BH = 60 \mbox { cm }

BD = \frac {9}{25}x
Sapendo che in un triangolo isoscele, l’altezza relativa alla base è mediana e perpendicolare, sfruttando il teorema di Euclide sul triangolo ABH otterremo:

BH^2 = AB \cdot BD

60^2 = x \cdot  \frac {9}{25}x

3600  = \frac {9}{25} x^2

9x^2= 90000

x^2 = 10000 \mbox { cm}^2

x=100 \mbox { cm }

Da questa avremo quindi che:

AB= AC=100 \mbox { cm }

E’ facile quindi trovare il perimetro:

2p= (100+ 100 + 120) \mbox { cm }=320 \mbox { cm }

Per calcolare l’area ci servirà trovare l’altezza. Sfruttiamo il teorema di Pitagora sul triangolo ABH:

AH^2 = AB^2 - BH^2
AH^2 = (10000- 3600)\mbox { cm}^2
AH^2 = 6400 \mbox { cm}^2
AH=80 \mbox { cm }

Quindi l’area sarà:
A = \frac {120 \cdot 80} { 2} \mbox { cm}^2
A = 4800 \mbox { cm}^2

 

 

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