Esercizio 16 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

Inscrivere in un semicerchio, il cui raggio è di 9 cm, un triangolo rettangolo, avente per ipotenusa il diametro, in modo che il rapporto tra un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa sia \frac 23 \sqrt 3.

 

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio.

Chiamiamo con BC il diametro della semicirconferenza dimodochè sia ABC il triangolo retto in A, e sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa.

Avremo che, ponendo

BH=x,

BC=18 \mbox { cm}

AB=\frac 23 \sqrt 3 x

Dal primo teorema di Euclide possiamo subito ricavare l’incognita:

AB^2=BH \cdot BC

\frac 49 \cdot 3 x^2=18x

\frac 43 x^2-18x=0

2x(2x-27)=0

Ovviamente x=0 non sarebbe accettabile come soluzione quindi avremo solo:

x= \frac {27}{2}

Troviamo quindi il cateto:

AB=\frac 23 \sqrt 3 \frac {27}{2} \mbox { cm}=9\sqrt 3 \mbox { cm}.

Ricaviamo il secondo cateto col teorema di Pitagora:

AC=\sqrt {BC^2-AB^2}=\sqrt {324-243} \mbox { cm}=\sqrt {81} \mbox { cm}=9 \mbox { cm}.

 

 

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