Esercizio 9 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 60 cm e la sua proiezione sull’ipotenusa è i 4/3 dell’altezza relativa all’ipotenusa. Trovare il perimetro e l’area del triangolo.

 

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio.

Ipotizziamo il triangolo sia retto in A, e sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa BC.

Ponendo AH=x, avremo:

AC=60 \mbox { cm}

CH= \frac {4}{3} x

Usiamo il teorema di Pitagora per trovare subito il valore dell’altezza:

AC^2=CH^2+AH^2

3600 \mbox { cm}^2=\frac {16}{9}x^2+ x^2

\frac {25}{9}x^2=3600 \mbox { cm}^2

x=36 \mbox { cm}

Avremo quindi:

AH=36 \mbox { cm}

CH=48 \mbox { cm}

Dal primo teorema di Euclide possiamo trovare il valore dell’ipotenusa:

CB= \frac {AC^2}{CH}

CB= \frac {3600}{48} \mbox { cm}= 75 \mbox { cm}

Quindi avremo che:

BH= 27 \mbox { cm}.

Troviamo BC col primo teorema di Euclide:

BC^2= BH \cdot AB

BC^2=(27 \cdot 75) \mbox { cm}^2

BC=45\mbox { cm}.

Calcoliamo perimetro e area:

2p=(45+60+75) \mbox { cm} = 180 \mbox { cm}

A= \frac {AC \cdot CB}{2}=\frac {45 \cdot 60 }{2}\mbox { cm}^2= 1350 \mbox { cm}^2

 

 

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