Integrali per sostituzione

In alcuni casi il calcolo dell’integrale indefinito risulta semplificato applicando il metodo di sostituzione in base al quale, assegnato l’integrale $\int f(x) \mathrm{d}x$ :

si pone $x=g(t)$ , con $g(t)$ funzione di una variabile $t$ , derivabile e invertibile;
si determina il differenziale $\mathrm{d}x =g'(t) \mathrm{d}t$ ;
si effettua la sostituzione nell’integrale assegnato ottenendo

$\int f(x) \mathrm{d}x=\int f[g(t)] g'(t) \mathrm{d}t$ ;

si calcola $\int f[g(t)] g'(t) \mathrm{d}t$ rispetto alla variabile $t$ , ottenendo, per sostituzione, la soluzione dell’integrale $\int f(x) \mathrm{d}x$ .

Si propongono alcune sostituzioni particolari:

$\int \sqrt {1-x^2} \mathrm{d}x$
$\int \frac {1}{\sqrt {1+x^2}}\mathrm{d}x$
$\int \frac {1}{1+senx} \mathrm {d}x$

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