Esempio 2

 

\int \frac {1}{\sqrt {x^2+1}}\mathrm{d}x

In tal caso è opportuno porre \sqrt {x^2+1}=t-x, da cui \sqrt {x^2+1}+x=t; differenziano ambo i membri si ricava:

(\frac {2x}{2\sqrt {x^2+1}}+1) \mathrm{d}x=dt se e solo se (\frac {x+\sqrt {x^2+1}}{\sqrt {x^2+1}}\mathrm{d}x=\mathrm{d}t,

e, tenendo presente l’uguaglianza \sqrt {x^2+1}+x=t, si ha

(\frac {t}{\sqrt {x^2+1}})\mathrm{d}x = \mathrm {d}t \Leftrightarrow  \frac {\mathrm{d}x}{\sqrt {x^2+1}}= \frac {\mathrm{d}t}{t}.

Con la sostituzione nell’integrale assegnato si ottiene:

\int \frac {1}{\sqrt {x^2+1}}\mathrm{d}x=\int \frac {\mathrm{d}t}{t}=ln|t| +k, ovvero

\int \frac {1}{\sqrt {x^2+1}}\mathrm {d}x = ln |x+\sqrt {x^2+1}|+k.

 

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