Delta Minore di 0

Se \Delta < 0, il trinomio a denominatore non ammette soluzioni reali e quindi non è scomponibile in R; può però essere scritto nella forma:

ax^2+bx+c=a(x^2+\frac b a x + \frac c a)=a(x^2+ \frac b a x + \frac {b^2}{4a^2}-\frac {b^2}{4a^2} + \frac c a)=

a[(x+\frac {b}{2a})^2+ \frac {4ac-b^2}{4a^2}]..

Raccogliendo a fattor comune il termine \frac {4ac-b^2}{4a^2}, si ricava:

a(\frac {4ac-b^2}{4a^2}) [\frac {(x+\frac {b}{2a})^2}{\frac {4ac-b^2}{4a^2}}+1]=a(\frac {4ac-b^2}{4a^2})[(\frac {x+\frac {b}{2a}}{\frac {\sqrt {4ac-b^2}}{2a}})^2+1],

e, tenendo presente che \Delta = b^2-4ac <0, ovvero 4ac-b^2=-\Delta >0, la precedente espressione risulta:

a(\frac {-\Delta}{4a^2})[(\frac {x+\frac {b}{2a}}{\frac {\sqrt {-\Delta}}{2a}})^2+1]=\frac {-\Delta}{4a^2} [(\frac {2ax+b}{\sqrt{-\Delta}})^2+1].

In base a tali osservazioni, l’integrale del tipo

  • \int \frac {q}{ax^2+bx+c} \mathrm {d}x

può essere scritto nella forma

\int \frac {q}{ax^2+bx+c} \mathrm {d}x = \int \frac {q}{\frac {-\Delta}{4a} [(\frac {2ax+b}{\sqrt{-\Delta}})^2+1]} \mathrm {d}x= \frac {4qa}{-\Delta} \int \frac {1}{1+(\frac {2ax+b}{\sqrt {-\Delta}})^2} \mathrm {d}x=\frac {2q}{\sqrt{-\Delta}} \int \frac {\frac {2a}{\sqrt {-\Delta}}}{1+(\frac {2ax+b}{\sqrt {-\Delta}})^2} \mathrm {d}x.

Dalle regole di integrazione immediate otteniamo che:

\int \frac {q}{ax^2+bx+c} \mathrm {d}x = \frac {2q}{\sqrt{-\Delta}} \int \frac {\frac {2a}{\sqrt {-\Delta}}}{1+(\frac {2ax+b}{\sqrt {-\Delta}})^2} \mathrm {d}x = \frac {2q}{\sqrt {-\Delta}}arctg (\frac {2ax+b}{\sqrt {-\Delta}}) + k.

 

Per risolvere l’integrale del tipo:

  • \int \frac {px+q}{ax^2+bx+c} \mathrm {d}x

si scompone la funzione integranda nella somma di due frazioni algebriche, in modo che nella prima il numeratore sia la derivata del denominatore e nella seconda il numeratore sia costante. Il primo integrale risulta quindi calcolabile con una funzione logaritmica, mentre il secondo è ricondotto al caso precedentemente esaminato dell’arcotangente di una funzione.

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