Limiti

Definizione di Limite

Teoricamente il limite e’ una cosa molto semplice: se io considero un piccolo intervallo sull’asse delle x ad esso corrispondera’ un intervallo piu’ o meno piccolo sull’asse delle y; se quando restringo l’intervallo sull’asse delle x mi si restringe anche l’intervallo corrispondente sull’asse delle y allora ho un limite.

Poiche’ l’intervallo posso renderlo piccolo quanto voglio allora posso sostituirlo al concetto di punto Il problema e’ tradurre un concetto cosi’ semplice in linguaggio matematico.

Per prima cosa, siccome si parla di limite di una funzione e la funzione e’come variano i punti sull’asse y partiremo da un intervallo sull’asse y e diremo che allo stringersi di un intervallo sulle y avvicinandosi ad un valore si stringe anche l’intervallo corrispondente sulle x avvicinandosi ad c.

Per dire questo consideriamo sull’intervallo delle X  un qualunque punto x a cui corrisponde f(x) sull’asse Y. Per rendere piccoli gli intervalli bastera’ dire che deve essere piccola la distanza tra f(x) ed L e contemporaneamente la distanza ta x ed c; ora la distanza si ottiene facendo la differenza fra le coordinate, ma essendo sempre positiva, dovra’ essere presa in modulo.

Quindi bastera’ dire che quando la distanza sulle Y e’ minore di un numero piccolissimo anche la distanza sulle X dovra’ essere minore di un numero piccolissimo, od in modo equivalente quando f(x) si avvicina ad L anche x si avvicina ad c.

Si dice che la funzione y=f(x) ammette limite finito l per x tendente ad x0 e si scrive:

lim_{x \to c}  f(x) = L

se per ogni numero positivo  \epsilon (epsilon) piccolo a piacere esiste un numero \delta_\epsilon (delta epsilon cioe’ delta dipendente da epsilon)

tale che da 

\left | x-c \right |

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La matematica spiegata passo passo