Esercizio 7 Problemi di geometria

Traccia

Un trapezio isoscele di perimetro 110 cm è circoscritto a una semicirconferenza. Dopo aver dimostrato che il lato obliquo è congruente a metà della base maggiore,, determinare i lati del trapezio sapendo che la base minore è i \frac 25 del lato obliquo. Determinare inoltre l’area del trapezio.

Svolgimento

trapezio e semicirconferenza

Tracciamo l’altezza CH ed il raggio OT, essendo T il punto di tangenza di un lato obliquo.

L’angolo \widehat{OTB} risulta retto per il teorema della retta tangente.

I triangoli rettangoli CHB e OTB sono congruenti per il criterio dei triangoli rettangoli (CH = OT perché raggi; l’angolo in B in comune).

Di conseguenza

BC = OB = \frac 12 AB cvd.

Poniamo ora BC=x, così da ottenere:

AB=2x

CD=\frac 25x

Dal perimetro ricaviamo l’incognita:

2x+x+\frac 25 x + x = 110

10x+5x+2x+5x=550

22x=550

x=25

Avremo:

BC=AD=25 \mbox { cm}

AB=50 \mbox { cm}

AD=10 \mbox { cm}

Calcoliamo l’area, ricordando che l’altezza equivale al raggio:

A_{ABCD}=\frac {(AB+CD)\cdot CH}{2}=\frac {(50+10) \cdot 15}{2} \mbox { cm}^2=450\mbox { cm}^2

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