Goniometria

  • Relazioni fondamentali della goniometria

Tra le funzioni goniometriche esistono relazioni fondamentali.

La prima: la somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso arco vale 1:

sen^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 .

La seconda: la tangente di un arco vale il rapporto tra il seno e il coseno dell’arco:

tg \alpha = \frac {sen \alpha}{cos \alpha}.

  • Legami tra le funzioni goniometriche
 noto sen\alpha cos\alpha tg\alpha
 sen\alpha sen\alpha \pm \sqrt {1-sen^2 \alpha} \pm \frac {sen\alpha}{\sqrt {1-sen^2\alpha}}
 cos\alpha \pm \sqrt {1-cos^2 \alpha} cos\alpha \pm \frac {\sqrt {1-cos^2\alpha}}{cos\alpha}
 tg\alpha \pm \frac {tg\alpha}{\sqrt {1+tg^2\alpha}} \pm \frac {1}{\sqrt {1+tg^2\alpha}} tg\alpha
  • Valori delle funzioni circolari di archi o di angoli notevoli
 gradi 0^{\circ} 30^{\circ} 45^{\circ} 60^{\circ} 90^{\circ} 180^{\circ} 270^{\circ} 360^{\circ}
 radianti 0 \frac {\pi}{6} \frac {\pi}{4} \frac {\pi}{3} \frac {\pi}{2} \pi \frac 3 2  \pi 2\pi
 sen\alpha 0 \frac 1 2  \frac {\sqrt 2} 2 \frac {\sqrt 3} 2 1 0 -1 0
 cos\alpha 1 \frac {\sqrt 3} 2  \frac {\sqrt 2} 2 \frac 1 2 0 -1 0  1
 tg\alpha 0  \frac {\sqrt 3} 3 1 \sqrt 3 \pm \infty 0 \pm \infty  0
  • Relazioni particolari tra coppie di angoli che differiscono per multipli di angolo retto
 angolo seno coseno tangente cotangente
90^{\circ}-\alpha cos\alpha sen \alpha cotg \alpha tg \alpha
90^{\circ}+\alpha cos\alpha -sen \alpha -cotg \alpha -tg \alpha
180^{\circ}-\alpha sen \alpha -cos\alpha -tg\alpha -cotg \alpha
180^{\circ}+\alpha -sen \alpha -cos\alpha tg \alpha cotg \alpha
270^{\circ}-\alpha -cos\alpha -sen \alpha cotg \alpha tg \alpha
270^{\circ}+\alpha -cos\alpha sen \alpha -cotg \alpha -tg \alpha
360^{\circ}-\alpha -sen \alpha cos\alpha -tg\alpha -cotg \alpha
  • Formule di sottrazione e di addizione
  1. sen(\alpha - \beta)=sen \alpha \cdot cos \beta - cos \alpha \cdot sen \beta
  2. sen(\alpha + \beta)=sen \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sen \beta
  3. cos(\alpha - \beta)=cos \alpha \cdot cos \beta +  sen \alpha \cdot sen \beta
  4. cos(\alpha + \beta)=cos \alpha \cdot cos \beta -  sen \alpha \cdot sen \beta
  5. tg(\alpha-\beta)=\frac {tg \alpha - tg \beta}{1+tg \alpha \cdot tg \beta}, con \alpha, \beta, \alpha - \beta \neq \frac {\pi}{2} + k \pi
  6. tg(\alpha+\beta)=\frac {tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}, con \alpha, \beta, \alpha + \beta \neq \frac {\pi}{2} + k \pi
  • Formule di duplicazione
  1. sen (2\alpha)=2\cdot sen \alpha \cdot cos \alpha
  2. cos (2\alpha)=cos^2 \alpha - sen^2 \alpha=1-2sen^2 \alpha = 2cos^2 \alpha-1
  3. tg (2\alpha) = \frac {2tg\alpha}{1-tg^2 \alpha} con \alpha \neq \frac {\pi}{2} +k\pi e \alpha \neq \frac {\pi}{4} +k\frac {\pi}2
  • Formule parametriche
  1.  sen \alpha = \frac {2tg\frac {\alpha}{2}}{1+tg^2 \frac {\alpha}{2}}=\frac {2t}{1+t^2} con \alpha \neq (2k+1)\pi
  2.  cos \alpha = \frac {1-tg^2\frac {\alpha}{2}}{1+tg^2 \frac {\alpha}{2}}=\frac {1-t^2}{1+t^2} con \alpha \neq (2k+1)\pi
  3. tg \alpha = \frac {2tg\frac {\alpha}{2}}{1-tg^2 \frac {\alpha}{2}}=\frac {2t}{1-t^2} con \alpha \neq (2k+1)\pi e \alpha \neq (2k+1) \frac {\pi}{2}
  • Formule di bisezione
  1. sen(\frac {\alpha}{2} = \pm \sqrt {\frac {1-cos \alpha}{2}}
  2. cos(\frac {\alpha}{2} = \pm \sqrt {\frac {1+cos \alpha}{2}}
  3. tg(\frac {\alpha}{2} = \pm \sqrt {\frac {1-cos \alpha}{1+cos\alpha}} con \alpha \neq \pi +2k\pi

  • Formule di prostaferesi

  1. sen p + sen q = 2 sen \frac {p+q}{2} cos \frac {p-q}{2}
  2. sen p - sen q = 2 cos \frac {p+q}{2}sen \frac {p-q}{2}
  3. cos p + cos q = 2 cos \frac {p+q}{2}cos \frac {p-q}{2}
  4. cos p - cos q = -2 sen \frac {p+q}{2} sen \frac {p-q}{2}
  • Formule di Werner

  1. sen(\alpha)cos(\beta)=\frac {sen(\alpha+\beta)+sen(\alpha-\beta)}{2}
  2. cos(\alpha)sen(\beta)=\frac {sen(\alpha+\beta)-sen(\alpha-\beta)}{2}
  3. cos(\alpha)cos(\beta)=\frac {cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}{2}
  4. sen(\alpha)sen(\beta)=-\frac {cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)}{2}

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La matematica spiegata passo passo