Problema 2.2 Scientifico 2011

Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da

    \[f (x) = (ax + b)  e^{-\frac x3} + 3.\]

dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto d’ascissa 4 e che f(0) = 2.

 

Si studi su R la funzione f (x) = (x - 1) e^{-\frac x3} + 3 e se ne tracci il grafico \Gamma nel sistema di riferimento Oxy.

 

Studiamo quindi la funzione appena trovata.

Essendo una funzione razionale intera che moltiplica un’esponenziale, l’unico problema per il dominio riguarda l’esponente. Ma non essendoci l’incognita a denominatore, allora il dominio sarà l’insieme dei numeri reali, quindi:

D=R.

Notiamo che: f(-x)=(-x - 1) e^{\frac x3} + 3 \neq \pm f(x), e quindi non presenta simmetrie.

Le intersezioni con l’asse delle ascisse non risulteranno di immediato calcolo, e quindi ci limiteremo solo a studiare l’intersezione con l’asse delle ordinate e in seguito approssimeremo le altre.

\begin{cases} x=0 \\ y=f(x) \end{cases}

\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}

Studiamo i limiti negli estremi del dominio:

    \[\lim_{x \to -\infty} f(x)= -\infty.\]

Non presenta asintoti obliqui a sinistra poichè:

    \[\lim_{x \to -\infty} \frac {f(x)}{x}= +\infty.\]

Studiamo a +\infty:

    \[\lim_{x \to +\infty} f(x)= \lim_{x \to +\infty} \frac {x-1}{e^{\frac x3}}+3 \mbox { forma indeterminata }.\]

Applico de L’Hopital:

    \[\lim_{x \to +\infty} \frac {1}{\frac 13e^{\frac x3}}=0.\]

Quindi avremo che:

    \[\lim_{x \to +\infty} f(x)=3\]

e y=3 risulta essere asintoto orizzontale.

Studiamo la derivata prima, già calcolata nel primo punto:

    \[f'(x)=\frac 13e^{-\frac x3}\left(4-x \right).\]

La funzione sarà derivabile in tutto R, e avremo che f' è positiva (f crescente) per x<4, negativa (f decrescente) per x>4 e ammetterà un punto di massimo in x=4. (come già detto nella traccia..)

 

Studiamo la derivata seconda:

    \[f''(x)=\frac 13\left[-\frac 13e^{-\frac x3}\left(4-x \right)-e^{-\frac x3}\right]=\frac 19 e^{-\frac x3}(x-7).\]

x=7 risulta essere punto di flesso a tangente obliqua e f'' sarà positiva(f convessa) per x>7, e negativa (f convessa)per x<7.

F(7;6e^{-\frac 73}+3)

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