Problema 2.3 Scientifico 2011

Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da

    \[f (x) = (ax + b)  e^{-\frac x3} + 3.\]

dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto d’ascissa 4 e che f(0) = 2.

 

 

Si calcoli l’area della regione di piano del primo quadrante delimitata da \Gamma, dall’asse y e dalla retta y = 3.

 

La retta y=3 nonchè asintoto orizzontale, incontra il grafico nel punto P(1;3).

Quindi calcoliamo l’integrale:

    \[\int_0^1 \left \{ 3- \left[\left(x-1 \right) e^{-\frac x3}+3\right]}\right \}dx=\int_0^1\left(1-x\right)e^{-\frac x3}dx.\]

Calcoliamolo per parti:

  • f'(x)= e^{-\frac x3} \Rightarrow f(x)=-3e^{-\frac x3}
  • g(x)=1-x \Rightarrow g(x)=-1

Avremo quindi:

    \[\int_0^1\left(1-x\right)e^{-\frac x3}dx=\left[-3e^{-\frac x3}(1-x)\right]_0^1-\int_0^1 3e^{-\frac x3}dx=\]

    \[=\left[3(x-1)e^{-\frac x3}+9e^{-\frac x3}\right]_0^1=9e^{-\frac 13}-6.\]

 

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