Problema 2.4 Scientifico 2011

Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da

    \[f (x) = (ax + b)  e^{-\frac x3} + 3.\]

dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto d’ascissa 4 e che f(0) = 2.

Anno 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
x_i 0 1 2 3 4 5 6
y_i 1,97 3,02 3,49 3,71 3,80 3,76 3,65

 

Il profitto di una azienda, in milioni di euro, è stato rappresentato nella tabella sottostante designando con xi l’anno di osservazione e con yi il corrispondente profitto.  Si cerca una funzione che spieghi il fenomeno dell’andamento del profitto giudicando accettabile una funzione g definita su R^+ se per ciascun x_i, oggetto dell’osservazione, si ha: \left | g(x_i) - y_i \right | \leq 10^{ -1} . Si verifichi, con l’aiuto di una calcolatrice, che è accettabile la funzione f del punto 2 e si dica, giustificando la risposta, se è vero che, in tal caso, l’evoluzione del fenomeno non potrà portare a profitti inferiori ai 3 milioni di euro.

 

 

 

Verifichiamo che : \left | f(x_i)-y_i\right| \leq 10^{-i}, \forall i \mbox {  con  } 0\leq i \leq 6

Infatti, con l’uso della calcolatrice, si ottiene:

x_i f(x_i) y_i \left | f(x_i)-y_i\right|
0 2 1,97 0,03
1 3 3,02 0,02
2 e^{-\frac 23}+3 3,49 0,02
3 2e^{-1}+3 3,71 0,02
4 3e^{-\frac 43}+3 3,80 0,01
5 4e^{-\frac 53}+3 3,76 0,00
6 5e^{-2}+3 3,65 0,03

 
I valori dell’ultima colonna sono tutti inferiori a 0,1. Quindi la funzione f(x)=(x-1 )e^{-\frac x3}+3 rappresenta in modo accettabile, secondo il criterio fissato, l’andamento del profitto dell’azienda.  L’evoluzione del profitto – approssimato tramite la funzione – potrà anche portare a profitti inferiori  a 3 milioni di euro. Il fatto è che la funzione è accettata come “buona” perchè approssima il profitto a meno di 1/10; ovviamente si può trovare di sicuro un istante di tempo nel quale il valore della  funzione dista da 3, da sopra, ad esempio, per meno di un milionesimo; a quel punto il profitto  potrebbe benissimo essere di 2,9999999 milioni di euro e la curva rappresentare sempre bene il
fenomeno.

 

 

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